自聚焦光纤 · 梯度折射率 · 柱对称双守恒量 · 45分 · 每次求导、每次叉乘、每次配方全部写全
本题不配图（请对照原卷图 7a）。评分结构：第(1)问 17 分，第(2)问 6 分，第(3)问 22 分——分数大头在第(3)问的直角坐标化与因子分解。
折射率只随 \(\rho\) 变、且向外递减。光在梯度折射率介质中总是向折射率大的一侧弯曲，所以光线走不了直线，会被持续"拉回"轴线，在轴外某环带内往返振荡、同时绕轴旋转——这就是题目说的"螺旋前进"。\(n\) 不依赖 \(\theta\) 和 \(z\)，这两个对称性各送一个守恒量，全题就是围绕这两个守恒量展开的。
柱坐标基矢随观察点方位角 \(\theta\) 转动：
$$\boldsymbol e_\rho=\cos\theta\,\boldsymbol e_x+\sin\theta\,\boldsymbol e_y,\qquad \boldsymbol e_\theta=-\sin\theta\,\boldsymbol e_x+\cos\theta\,\boldsymbol e_y$$ 对 \(\theta\) 求导（\(e_x,e_y\) 是常矢量）： $$\frac{d\boldsymbol e_\rho}{d\theta}=-\sin\theta\,\boldsymbol e_x+\cos\theta\,\boldsymbol e_y=\boldsymbol e_\theta,\qquad \frac{d\boldsymbol e_\theta}{d\theta}=-\cos\theta\,\boldsymbol e_x-\sin\theta\,\boldsymbol e_y=-\boldsymbol e_\rho$$ 光线上点的位置矢量（官方①式）： $$\boldsymbol r(z)=\rho\cos\theta\,\boldsymbol e_x+\rho\sin\theta\,\boldsymbol e_y+z\,\boldsymbol e_z=\rho\,\boldsymbol e_\rho+z\,\boldsymbol e_z\tag{1}$$ 一阶导（链式法则，\(\rho,\theta\) 都是 \(z\) 的函数）： $$\frac{d\boldsymbol r}{dz}=\rho'\boldsymbol e_\rho+\rho\frac{d\boldsymbol e_\rho}{d\theta}\theta'+\boldsymbol e_z =\rho'\boldsymbol e_\rho+\rho\theta'\boldsymbol e_\theta+\boldsymbol e_z\tag{2}$$ 展开回直角坐标（官方②式）： $$\frac{d\boldsymbol r}{dz}=(\rho'\cos\theta-\rho\theta'\sin\theta)\boldsymbol e_x+(\rho'\sin\theta+\rho\theta'\cos\theta)\boldsymbol e_y+\boldsymbol e_z$$ 三个基矢正交归一，故其模长（官方⑪式，记为 \(D\)）： $$D\equiv\left|\frac{d\boldsymbol r}{dz}\right|=\sqrt{\rho'^2+\rho^2\theta'^2+1}\tag{11}$$ 二阶导：对 (2) 再求一次导，逐项用积法则： $$\frac{d}{dz}(\rho'\boldsymbol e_\rho)=\rho''\boldsymbol e_\rho+\rho'\boldsymbol e_\theta\theta',\qquad \frac{d}{dz}(\rho\theta'\boldsymbol e_\theta)=(\rho'\theta'+\rho\theta'')\boldsymbol e_\theta+\rho\theta'(-\boldsymbol e_\rho)\theta',\qquad \frac{d\boldsymbol e_z}{dz}=0$$ 合并 \(\boldsymbol e_\rho\) 与 \(\boldsymbol e_\theta\) 的系数： $$\frac{d^2\boldsymbol r}{dz^2}=(\rho''-\rho\theta'^2)\boldsymbol e_\rho+(\rho\theta''+2\rho'\theta')\boldsymbol e_\theta\tag{4}$$ 展开回直角坐标即官方④式： $$\frac{d^2\boldsymbol r}{dz^2}=\left[(\rho''-\rho\theta'^2)\cos\theta-(\rho\theta''+2\rho'\theta')\sin\theta\right]\boldsymbol e_x +\left[(\rho''-\rho\theta'^2)\sin\theta+(\rho\theta''+2\rho'\theta')\cos\theta\right]\boldsymbol e_y$$费马原理：光在介质中沿光程 \(\int n\,ds\) 取平稳值的路径传播，即 \(\delta\int n\,ds=0\)。
光线始终沿 \(+z\) 前进（不到达侧面、不打回头），可用 \(z\) 作曲线参数。弧长微元： $$ds=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=\sqrt{1+x'^2+y'^2}\,dz\equiv D_c\,dz$$ 光程泛函 \(S=\int n(x,y)\,D_c\,dz\)，被积函数 \(L=n(x,y)\sqrt{1+x'^2+y'^2}\)。对 \(x(z)\) 写欧拉—拉格朗日方程，先算两个偏导： $$\frac{\partial L}{\partial x'}=n\,\frac{x'}{\sqrt{1+x'^2+y'^2}},\qquad \frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial n}{\partial x}\sqrt{1+x'^2+y'^2}$$ 代入 \(\dfrac{d}{dz}\dfrac{\partial L}{\partial x'}-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0\)： $$\frac{d}{dz}\!\left(n\,\frac{x'}{D_c}\right)=\frac{\partial n}{\partial x}\,D_c$$ 两边除以 \(D_c=ds/dz\)，并注意 \(\dfrac{d}{dz}=D_c\dfrac{d}{ds}\)、\(\dfrac{dx}{ds}=\dfrac{x'}{D_c}\)，得 $$\frac{d}{ds}\!\left(n\frac{dx}{ds}\right)=\frac{\partial n}{\partial x}$$ 对 \(y,z\) 同理。三个分量合成矢量式，即光线方程： $$\boxed{\ \frac{d}{ds}\!\left(n\,\frac{d\boldsymbol r}{ds}\right)=\nabla n\ }\qquad\text{其中 }\frac{d\boldsymbol r}{ds}=\boldsymbol t\ \text{是单位切矢量}$$ 读法：单位切矢量乘以 \(n\)（光学方向余弦）沿光线的变化率等于折射率梯度——光线总是向 \(\nabla n\) 方向弯。本题 \(n=n(\rho)\)，故 $$\nabla n=\frac{dn}{d\rho}\,\boldsymbol e_\rho,\qquad \frac{dn}{d\rho}=-\frac{n_0\alpha^2\rho}{\sqrt{1-\alpha^2\rho^2}} \lt 0$$ 梯度指向 \(-\boldsymbol e_\rho\)（朝轴），光线被持续拉回轴线——"自聚焦"的力学类比：一个始终在径向回复"力"中的粒子。
与离散折射的等价性：把光纤分成许多同轴薄层，层内 \(n\) 恒定、光线走直线；界面处 Snell 定律 \(n_1\sin i_1=n_2\sin i_2\) 的矢量形式是"\(n\boldsymbol t\) 的切向分量连续"，即 \(\Delta(n\boldsymbol t)\) 沿界面法线方向。取层厚趋于零的极限，\(\Delta(n\boldsymbol t)\) 沿法线、大小正比于 \(\Delta n\)——正是 \(d(n\boldsymbol t)/ds=\nabla n\)。官方【解法一】从离散出发、【解法二】从费马出发，殊途同归于这同一个方程。
混合积 \((\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c\) 等于三矢量分量排成的行列式；它关于三个矢量轮换对称，任一矢量与自身重复即为零（\((\boldsymbol a\times\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol c=0\)）。
柱坐标三基矢 \((\boldsymbol e_\rho,\boldsymbol e_\theta,\boldsymbol e_z)\) 构成右手正交系： $$\boldsymbol e_\rho\times\boldsymbol e_\theta=\boldsymbol e_z,\qquad \boldsymbol e_\theta\times\boldsymbol e_z=\boldsymbol e_\rho,\qquad \boldsymbol e_z\times\boldsymbol e_\rho=\boldsymbol e_\theta$$ 因此对 \(\boldsymbol A=A_\rho\boldsymbol e_\rho+A_\theta\boldsymbol e_\theta+A_z\boldsymbol e_z\) 与 \(\boldsymbol B=B_\rho\boldsymbol e_\rho+B_\theta\boldsymbol e_\theta+B_z\boldsymbol e_z\)： $$\boldsymbol A\times\boldsymbol B=(A_\theta B_z-A_zB_\theta)\boldsymbol e_\rho+(A_zB_\rho-A_\rho B_z)\boldsymbol e_\theta+(A_\rho B_\theta-A_\theta B_\rho)\boldsymbol e_z$$
设拉氏量 \(L(q_i,q_i')\)（参数为 \(z\)），广义动量 \(p_i=\partial L/\partial q_i'\)。两条标准结论：
（i）若 \(L\) 不显含某坐标 \(q_i\)，则 \(p_i\) 守恒——欧拉方程直接给出 \(p_i'=\partial L/\partial q_i=0\)。
（ii）若 \(L\) 不显含参数 \(z\)，则"能量" \(H=\sum_i p_iq_i'-L\) 守恒。证明（一行链式法则）：
$$\frac{dH}{dz}=\sum_i\left(p_i'q_i'+p_iq_i''\right)-\frac{\partial L}{\partial z}-\sum_i\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}q_i'+\frac{\partial L}{\partial q_i'}q_i''\right) =-\frac{\partial L}{\partial z}=0$$ 其中用了欧拉方程 \(p_i'=\partial L/\partial q_i\) 与定义 \(p_i=\partial L/\partial q_i'\) 使两项相消。第一步：几何对象。位置矢量 \(\boldsymbol r(z)\)（①）、切方向 \(d\boldsymbol r/dz\)（②）、在 \(z+\Delta z\) 处保留到一阶小量的折射光方向（官方③式） $$\left.\frac{d\boldsymbol r}{dz}\right|_{z+\Delta z}=\frac{d\boldsymbol r}{dz}+\frac{d^2\boldsymbol r}{dz^2}\Delta z\tag{3}$$ 二阶导数（④）、薄层界面的法向量（界面是以 z 为轴的圆柱面，法线沿径向，官方⑤式） $$\boldsymbol m=\cos\theta\,\boldsymbol e_x+\sin\theta\,\boldsymbol e_y=\boldsymbol e_\rho\tag{5}$$
第二步：共面条件 → 第一个微分方程。折射定律要求入射光、折射光与法线共面：三矢量共面 \(\Longleftrightarrow\) 混合积为零， $$\left[\frac{d\boldsymbol r}{dz}\times\left(\frac{d\boldsymbol r}{dz}+\frac{d^2\boldsymbol r}{dz^2}\Delta z\right)\right]\cdot\boldsymbol m=0$$ 第一叉乘项 \((d\boldsymbol r/dz)\times(d\boldsymbol r/dz)=0\)，化简得（官方⑥式） $$\left(\frac{d\boldsymbol r}{dz}\times\frac{d^2\boldsymbol r}{dz^2}\right)\cdot\boldsymbol m=0\tag{6}$$ 用工具3的叉乘公式，以 (2)(4) 的分量代入（\(A_\rho=\rho',\ A_\theta=\rho\theta',\ A_z=1\)；\(B_\rho=\rho''-\rho\theta'^2,\ B_\theta=\rho\theta''+2\rho'\theta',\ B_z=0\)）： $$\frac{d\boldsymbol r}{dz}\times\frac{d^2\boldsymbol r}{dz^2} =\underbrace{\left[\rho\theta'\cdot 0-1\cdot(\rho\theta''+2\rho'\theta')\right]}_{\boldsymbol e_\rho\text{ 分量}}\boldsymbol e_\rho +\underbrace{\left[1\cdot(\rho''-\rho\theta'^2)-\rho'\cdot 0\right]}_{\boldsymbol e_\theta\text{ 分量}}\boldsymbol e_\theta +\underbrace{\left[\rho'(\rho\theta''+2\rho'\theta')-\rho\theta'(\rho''-\rho\theta'^2)\right]}_{\boldsymbol e_z\text{ 分量}}\boldsymbol e_z$$ 再与 \(\boldsymbol m=\boldsymbol e_\rho\) 点乘，只留 \(\boldsymbol e_\rho\) 分量（官方⑦式）： $$\left(\frac{d\boldsymbol r}{dz}\times\frac{d^2\boldsymbol r}{dz^2}\right)\cdot\boldsymbol m=-(\rho\theta''+2\rho'\theta')=0$$ 即第一个微分方程（官方⑧式）： $$\boxed{\ \rho\theta''+2\rho'\theta'=0\ }\tag{8}$$
第三步：Snell 大小关系 → 第二个微分方程。界面处 \(n\boldsymbol t\) 切向分量连续（\(\boldsymbol t\) 为单位切矢量），其矢量形式（官方⑨式）： $$\left.\left(n\,\frac{d\boldsymbol r/dz}{|d\boldsymbol r/dz|}\times\boldsymbol m\right)\right|_{z} =\left.\left(n'\,\frac{d\boldsymbol r/dz+(d^2\boldsymbol r/dz^2)\Delta z}{|d\boldsymbol r/dz+(d^2\boldsymbol r/dz^2)\Delta z|}\times\boldsymbol m\right)\right|_{z+\Delta z}\tag{9}$$ 即 \((n\boldsymbol t)\times\boldsymbol m\) 跨界面不变。取连续极限：\(n\boldsymbol t\) 沿光线的变化只能沿法线方向（官方⑩式）： $$\frac{d}{dz}\!\left(n\,\frac{d\boldsymbol r/dz}{|d\boldsymbol r/dz|}\right)\propto\boldsymbol m\tag{10}$$ 这正是工具2的光线方程——因为 \(\nabla n\parallel\boldsymbol e_\rho=\boldsymbol m\)，离散与连续两条路在此汇合。把 (2)(11) 代入 (10)（官方⑫式）： $$\frac{d}{dz}\!\left\{\frac{n}{D}\left[(\rho'\cos\theta-\rho\theta'\sin\theta)\boldsymbol e_x+(\rho'\sin\theta+\rho\theta'\cos\theta)\boldsymbol e_y+\boldsymbol e_z\right]\right\}\propto\cos\theta\,\boldsymbol e_x+\sin\theta\,\boldsymbol e_y\tag{12}$$ 对左边用积法则拆成两项： $$\underbrace{\left[\frac{d}{dz}\!\left(\frac{n}{D}\right)\right]\frac{d\boldsymbol r}{dz}}_{\text{第一项}}+\underbrace{\frac{n}{D}\,\frac{d^2\boldsymbol r}{dz^2}}_{\text{第二项}}\propto\boldsymbol m$$ 第二项用 (4) 与 ⑧（\(\rho\theta''+2\rho'\theta'=0\) 使 \(\boldsymbol e_\theta\) 分量消失）： $$\frac{n}{D}\,\frac{d^2\boldsymbol r}{dz^2}=\frac{n}{D}(\rho''-\rho\theta'^2)\,\boldsymbol e_\rho=\frac{n}{D}(\rho''-\rho\theta'^2)\,\boldsymbol m\ \parallel\ \boldsymbol m$$ 它自动平行于右边，可被比例系数吸收。于是比例条件全压在第一项上：\(\left[\dfrac{d}{dz}\!\left(\dfrac{n}{D}\right)\right]\dfrac{d\boldsymbol r}{dz}\propto\boldsymbol m\)。但 \(d\boldsymbol r/dz\) 的 \(\boldsymbol e_z\) 分量恒为 \(1\neq0\)，而 \(\boldsymbol m\) 没有 \(\boldsymbol e_z\) 分量——唯一出路是该标量因子为零，即第二个微分方程（官方⑬式）： $$\boxed{\ \frac{d}{dz}\!\left(\frac{n}{\sqrt{\rho'^2+\rho^2\theta'^2+1}}\right)=0\ }\tag{13}$$
光程写成以 \(z\) 为参数的泛函（官方①′②′式）： $$\int n\,ds=\int L\,dz,\qquad L(\rho,\rho',\theta')=n(\rho)\sqrt{\rho'^2+\rho^2\theta'^2+1}=n(\rho)\,D\tag{2'}$$ 关键观察：\(L\) 不显含 \(\theta\)，也不显含 \(z\)——工具4的两个首次积分条件同时满足。欧拉方程（官方③′④′式）：
$$\frac{d}{dz}\!\left(\frac{n\rho'}{D}\right)=\frac{dn}{d\rho}D+\frac{n\rho\theta'^2}{D}\tag{3'}$$ $$\frac{d}{dz}\!\left(\frac{n\rho^2\theta'}{D}\right)=0\tag{4'}$$广义动量（官方⑤′式）与广义能量（官方⑥′式）：
$$p_\rho=\frac{\partial L}{\partial \rho'}=\frac{n\rho'}{D},\qquad p_\theta=\frac{\partial L}{\partial \theta'}=\frac{n\rho^2\theta'}{D}\tag{5'}$$ $$H=p_\rho\rho'+p_\theta\theta'-L=\frac{n\rho'^2}{D}+\frac{n\rho^2\theta'^2}{D}-nD =\frac{n(\rho'^2+\rho^2\theta'^2-D^2)}{D}=\frac{n(-1)}{D}=-\frac{n}{D}\tag{6'}$$由工具4，两者都是不变量（官方⑦′⑧′式）：
$$p_\theta=\frac{n\rho^2\theta'}{D}=J,\qquad H=-\frac{n}{D}=E\tag{7',8'}$$把路线A的 ⑧⑬ 分别积分（这正是第(2)问的开头）：
$$\text{⑧}\times\rho\ \Rightarrow\ \rho^2\theta'=c_1,\qquad \text{⑬积分}\ \Rightarrow\ \frac{n}{D}=c_2$$与路线B对照：\(J=\dfrac{n}{D}\cdot\rho^2\theta'=c_1c_2\)，\(E=-c_2\)。两条路线给出的是同一对守恒量（只差平凡的组合关系），独立个数都是 2。
第一不变量：⑧式两边乘 \(\rho\)：\(\rho^2\theta''+2\rho\rho'\theta'=\dfrac{d}{dz}(\rho^2\theta')=0\)（官方⑭式），积分并代入 \(z=0\) 的初值（官方⑮式）： $$\rho^2\theta'=c_1=\rho_0^2k_2\tag{15}$$ 第二不变量：⑬式直接积分（官方⑯式），代入初值 \(D(0)=\sqrt{k_1^2+\rho_0^2k_2^2+1}\)： $$\frac{n}{\sqrt{\rho'^2+\rho^2\theta'^2+1}}=c_2=n_0\sqrt{\frac{1-\alpha^2\rho_0^2}{k_1^2+\rho_0^2k_2^2+1}}\tag{16}$$
由 (15)，\(\theta'=c_1/\rho^2\)，代入 (16)（官方⑰式）：
$$\frac{n}{\sqrt{\rho'^2+\dfrac{c_1^2}{\rho^2}+1}}=c_2\tag{17}$$ 两边平方、整理（官方⑱式）： $$\rho'^2+\frac{c_1^2}{\rho^2}+1=\frac{n^2}{c_2^2}=\frac{n_0^2}{c_2^2}\left(1-\alpha^2\rho^2\right)\tag{18}$$光线离轴最远处，径向"速度"为零（官方⑲式）：\(\rho'=0\)。代入 (18)（官方⑳式）： $$\frac{c_1^2}{\rho^2}+1=\frac{n_0^2}{c_2^2}\left(1-\alpha^2\rho^2\right)\tag{20}$$ 两边乘 \(\rho^2c_2^2\)，按 \(\rho^2\) 整理： $$c_1^2c_2^2+c_2^2\rho^2=n_0^2\rho^2-n_0^2\alpha^2\rho^4 \ \Longrightarrow\ n_0^2\alpha^2(\rho^2)^2-(n_0^2-c_2^2)\,\rho^2+c_1^2c_2^2=0$$ 这是关于 \(\rho^2\) 的二次方程，求根公式给出（官方㉑式）： $$\rho^2=\frac{(n_0^2-c_2^2)\pm\sqrt{(n_0^2-c_2^2)^2-4n_0^2\alpha^2c_1^2c_2^2}}{2n_0^2\alpha^2}\tag{21}$$
两根均为正实根：判别式 \(\Delta\ge0\) 由物理初值自动保证——光线真实经过 \(\rho=\rho_0\) 且该处 \(\rho'^2=k_1^2\ge0\)，由 (18) 知 \(\rho_0^2\) 落在使右端非负的区间内，即两根之间，故两根都是实根；再由韦达，两根之积 \(=\dfrac{c_1^2c_2^2}{n_0^2\alpha^2} \gt 0\)、两根之和 \(=\dfrac{n_0^2-c_2^2}{n_0^2\alpha^2} \gt 0\)（因为 \(c_2=n/D \lt n\le n_0\)），故两根同为正。
小根是 \(\rho_{\min}^2\)，大根是 \(\rho_{\max}^2\)：有效势区间 \([\rho_{\min},\rho_{\max}]\) 内光线往返振荡；初值 \(\rho'(0)=k_1 \gt 0\) 表示光线正向外走，它先到达的转折点是大根。最远点取正号（官方㉒式）：
第(2)问只问 \(\rho_{\max}\)，代数方法就够。第(3)问要完整轨迹：若留在柱坐标，(18) 是 \(\rho'^2=f(\rho)\)，积分出椭圆积分，\(\theta(z)\) 还要再积一次——不干净。换直角坐标的动机：两个守恒量在直角坐标下都是多项式关系，多项式微分后有望因子化。
柱坐标与直角坐标的关系（官方㉓㉔式）： $$x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta;\qquad \rho=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \theta=\arctan\frac{y}{x}\ (\text{按象限加 }\pi)\tag{23,24}$$ 对 \(z\) 求导（官方㉕式），零跳步推导：先对 \(\rho^2=x^2+y^2\) 求导得 \(2\rho\rho'=2xx'+2yy'\)，即 $$\rho'=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ 再对 \(\tan\theta=y/x\) 求导：\(\sec^2\theta\,\theta'=\dfrac{y'x-yx'}{x^2}\)，而 \(\sec^2\theta=1+\tan^2\theta=\dfrac{x^2+y^2}{x^2}\)，故 $$\theta'=\frac{xy'-yx'}{x^2+y^2}\tag{25}$$
第一守恒量（官方㉖式）：由 (25)，\(\rho^2\theta'=xy'-yx'\)，故 $$xy'-yx'=c_1\tag{26}$$ 第二守恒量（官方㉗式）：先算 $$\rho'^2+\rho^2\theta'^2=\frac{(xx'+yy')^2}{\rho^2}+\frac{(xy'-yx')^2}{\rho^2} =\frac{x^2x'^2+2xx'yy'+y^2y'^2+x^2y'^2-2xx'yy'+y^2x'^2}{\rho^2} =\frac{(x^2+y^2)(x'^2+y'^2)}{\rho^2}=x'^2+y'^2$$ （交叉项恰好抵消——这正是拉格朗日恒等式。）代入 (17) 并两边平方： $$n_0^2\left[1-\alpha^2(x^2+y^2)\right]=c_2^2\left(x'^2+y'^2+1\right)\tag{27}$$
对 (27) 求导：左边 \(\frac{d}{dz}n_0^2[1-\alpha^2(x^2+y^2)]=-2n_0^2\alpha^2(xx'+yy')\)，右边 \(\frac{d}{dz}c_2^2(x'^2+y'^2+1)=2c_2^2(x'x''+y'y'')\)，整理得（官方㉘式）： $$n_0^2\alpha^2(xx'+yy')+c_2^2(x'x''+y'y'')=0\tag{28}$$ 对 (26) 求导：\(x'y'+xy''-y'x'-yx''=0\)，交叉项相消，得 \(xy''=yx''\)，即（官方㉙式）： $$y''=\frac{yx''}{x}\qquad(x\neq0\text{ 处；}x=0\text{ 的孤立点由连续性延拓})\tag{29}$$ 代入消元：把 (29) 代入 (28) 的第二项： $$x'x''+y'y''=x'x''+y'\frac{yx''}{x}=\frac{x''}{x}(xx'+yy')$$ 于是 (28) 变为 \(\left[n_0^2\alpha^2+\dfrac{c_2^2x''}{x}\right](xx'+yy')=0\)，两边乘 \(x\) 即乘积因子化形式（官方㉚㉛式）： $$(xx'+yy')\left(c_2^2x''+n_0^2\alpha^2x\right)=0\tag{31}$$
每一点处至少一个因子为零，于是只有两条候选分支：
分支A：\(xx'+yy'=0\)。由 (25) 的推导，\((\rho^2)'=2(xx'+yy')=0\)（官方㉜式），即 \(\rho\) 恒定——光线永远待在同一个圆柱面上。这与题给初值 \(\rho'(0)=k_1 \gt 0\) 直接矛盾，舍去（官方㉜式后的 * 注：此式对应光线与 z 轴的距离不变，与初始条件不符，不是所需的解）。
分支B（官方㉝式）： $$c_2^2x''+n_0^2\alpha^2x=0\ \Longrightarrow\ x''=-\frac{n_0^2\alpha^2}{c_2^2}\,x\tag{33}$$ 严谨性说明：分支A不可能在任何区间上成立（否则该区间内 \(\rho'\equiv0\)，与 \(z=0\) 处 \(\rho'=k_1 \gt 0\) 及其连续性矛盾），故在原点邻域内只能是分支B；分支B是线性常系数方程，初值问题解唯一且光滑，可延拓到全部 \(z\)，且对该解 \(xx'+yy'\) 不恒为零（\(\rho'\) 不恒为零），与"每点至少一个因子为零"自洽。
(33) 是简谐方程，角频率记为 \(k\)（官方㊲式）：
$$k=\frac{n_0\alpha}{c_2}=\alpha\sqrt{\frac{k_1^2+\rho_0^2k_2^2+1}{1-\alpha^2\rho_0^2}}\tag{37}$$通解（官方㉟式）：
$$x=A_1\cos(kz)+A_2\sin(kz)\tag{35}$$\(y\) 与 \(x\) 地位完全对称（(26)(27)(28) 在 \(x\leftrightarrow y\) 下不变），故同样（官方㊱式）：
$$y=B_1\cos(kz)+B_2\sin(kz)\tag{36}$$定系数（官方㊳式，这一步独占4分）。初值的直角坐标翻译：\(x(0)=\rho_0\cos0=\rho_0\)，\(y(0)=\rho_0\sin0=0\)；又 \(x'=\rho'\cos\theta-\rho\theta'\sin\theta\)、\(y'=\rho'\sin\theta+\rho\theta'\cos\theta\)，在 \(z=0\)（\(\theta=0\)）处 \(x'(0)=\rho'(0)=k_1\)，\(y'(0)=\rho_0\theta'(0)=\rho_0k_2\)。逐个代入：
$$x(0)=A_1=\rho_0;\qquad y(0)=B_1=0;$$ $$x'(0)=A_2k=k_1\ \Rightarrow\ A_2=\frac{k_1}{k}=\frac{k_1c_2}{n_0\alpha}=\frac{k_1}{\alpha}\sqrt{\frac{1-\alpha^2\rho_0^2}{k_1^2+\rho_0^2k_2^2+1}};$$ $$y'(0)=B_2k=\rho_0k_2\ \Rightarrow\ B_2=\frac{\rho_0k_2}{k}=\frac{\rho_0k_2}{\alpha}\sqrt{\frac{1-\alpha^2\rho_0^2}{k_1^2+\rho_0^2k_2^2+1}}.\tag{38}$$验证 (26)：记 \(u=kz\)，\(x=\rho_0\cos u+\frac{k_1}{k}\sin u\)，\(y=\frac{\rho_0k_2}{k}\sin u\)： $$xy'-yx'=k\left(x\frac{dy}{du}-y\frac{dx}{du}\right) =k\left[\frac{\rho_0k_2}{k}\left(\rho_0\cos^2u+\frac{k_1}{k}\sin u\cos u\right)-\frac{\rho_0k_2}{k}\left(-\rho_0\sin^2u+\frac{k_1}{k}\sin u\cos u\right)\right] =k\cdot\frac{\rho_0^2k_2}{k}=\rho_0^2k_2=c_1\ \checkmark$$ 验证 (27)：直接算得 $$x'^2+y'^2=k^2\left[\rho_0^2\sin^2u+\frac{k_1^2+\rho_0^2k_2^2}{k^2}\cos^2u-\frac{2\rho_0k_1}{k}\sin u\cos u\right],\qquad k^2\rho^2=k^2\left[\rho_0^2\cos^2u+\frac{k_1^2+\rho_0^2k_2^2}{k^2}\sin^2u+\frac{2\rho_0k_1}{k}\sin u\cos u\right]$$ 两式相加，交叉项相消：\(x'^2+y'^2+k^2\rho^2=k^2\rho_0^2+(k_1^2+\rho_0^2k_2^2)\)。故 $$x'^2+y'^2+1=\left(k_1^2+\rho_0^2k_2^2+1\right)+k^2\rho_0^2-k^2\rho^2=\frac{k^2}{\alpha^2}-k^2\rho^2=\frac{k^2}{\alpha^2}\left(1-\alpha^2\rho^2\right)$$ 其中用了 \(\left(k_1^2+\rho_0^2k_2^2+1\right)+k^2\rho_0^2=\left(k_1^2+\rho_0^2k_2^2+1\right)\left[1+\dfrac{\alpha^2\rho_0^2}{1-\alpha^2\rho_0^2}\right]=\dfrac{k_1^2+\rho_0^2k_2^2+1}{1-\alpha^2\rho_0^2}=\dfrac{k^2}{\alpha^2}\)。两边乘 \(c_2^2\)，再用 \(c_2k=n_0\alpha\)： $$c_2^2(x'^2+y'^2+1)=\frac{c_2^2k^2}{\alpha^2}\left(1-\alpha^2\rho^2\right)=n_0^2\left(1-\alpha^2\rho^2\right)\ \checkmark$$
xy 投影是椭圆：\(x=A_1\cos u+A_2\sin u,\ y=B_2\sin u\) 都是 \(\cos u,\sin u\) 的线性组合，消去 \(u\) 得 \(\left(x-\dfrac{A_2}{B_2}y\right)^2\Big/A_1^2+y^2\Big/B_2^2=1\)——中心在原点的（旋转）椭圆。空间轨迹是"椭圆柱面上的螺旋线"：每前进 \(\Delta z=2\pi/k\)，横向正好描完一个椭圆。
径向每周期振荡两次：\(\rho^2=x^2+y^2\) 只含 \(\cos^2,\sin^2,\sin u\cos u\)，即只含 \(2u\) 的谐波——\(z\) 每过 \(\pi/k\)，\(\rho\) 完成一次 \(\rho_{\min}\to\rho_{\max}\to\rho_{\min}\)。
特例 \(k_2=0\)（子午光线）：\(y\equiv0\)，光线躺在过轴平面内走正弦曲线 \(x=\rho_0\cos(kz)+\frac{k_1}{k}\sin(kz)\)。近轴极限（\(k_1,\alpha\rho_0\ll1\)）下 \(k\to\alpha\)，周期 \(2\pi/\alpha\) 与振幅无关——所有近轴光线在同一位置重新聚焦，这就是"自聚焦光纤"名字的由来。
取 \(n_0=1.5,\ \alpha=0.03,\ \rho_0=2,\ k_1=0.4,\ k_2=0.25\)，则 \(c_1=1\)，\(c_2\approx1.260952\)，\(k\approx0.0356873\)。
| 检验项 | 第(2)问代数结果 ㉒ | 第(3)问轨迹采样（一个周期 20 万点） | 相对偏差 |
|---|---|---|---|
| \(\rho_{\max}^2\) | 323.49875994 | 323.49875992 | \(\sim9\times10^{-11}\) |
| \(\rho_{\min}^2\)（㉑取"−"号） | 2.42716598 | 2.42716601 | \(\sim1\times10^{-8}\) |
| 不变量 \(xy'-yx'\) 沿轨迹 | 恒等于 \(1.0000000000=c_1\) | 机器精度 | |
| 不变量 \(n/D\) 沿轨迹 | 恒等于 \(1.2609520213=c_2\) | 机器精度 | |
第(2)问由守恒量纯代数推出，第(3)问由因子化后的简谐方程解出——两条独立路径给出同一个 \(\rho_{\max}\)，互相印证。
| 内容 | 本文 | 官方 | 结论 |
|---|---|---|---|
| 微分方程组（第1问） | ⑧ \(\rho\theta''+2\rho'\theta'=0\)；⑬ \(\frac{d}{dz}(n/D)=0\) | ⑧⑬（解法二 ③′④′ 等价） | 一致 |
| 第一不变量 | \(\rho^2\theta'=c_1=\rho_0^2k_2\) | ⑮（解法二 \(J=c_1c_2\)） | 一致 |
| 第二不变量 | \(n/D=c_2=n_0\sqrt{(1-\alpha^2\rho_0^2)/(k_1^2+\rho_0^2k_2^2+1)}\) | ⑯（解法二 \(E=-c_2\)） | 一致 |
| \(\rho_{\max}\) | ㉒（大根） | ㉒ | 一致 |
| 因子化 | \((xx'+yy')(c_2^2x''+n_0^2\alpha^2x)=0\)，舍 \(\rho=\) 常数支 | ㉛㉜＋*注 | 一致 |
| 角频率 | \(k=n_0\alpha/c_2\) | ㊲ | 一致 |
| 轨迹 | ㊴㊵（四系数由初值定出） | ㊴㊵ | 一致 |
本题官方解答未发现印刷瑕疵。第(3)问评分 22 分中：㉓㉔式各1分，㉕式2分，㉖㉗㉘式各1分，㉙式2分，㉚㉛式各1分，*注（舍分支）1分，㉜㉝式各1分，㊲式2分，㊳式4分，㊴㊵式各1分——舍分支的"*注"单独占1分，考场上只写简谐方程不写取舍理由会丢分。