第42届复赛·理论第三题 精讲（零跳步版）
量子霍尔器件 · 接触电阻 · 误差逐级压制 · 45分 · 每条环路方程逐项交代来历
本题不配图（请对照原卷图 3a–3d；等效电路的全部规则已从官方解答的环路方程反推验证，与模糊原图无关）。
评分结构：第(1)问 6 分，第(2.1)问 16 分，第(2.2)问 23 分——分数大头在(2.2)的八元电路系统与 ε³ 量级论证。
〇、题目全文与逻辑地图
题目转录（45分）：一量子霍尔效应器件的俯视图如图 3a 所示，其中 1 至 8 为器件端口，可以通电流或测电压，垂直于器件方向上施加磁场 \(B\)。由于量子霍尔效应，在两端口 \(i,j\) 通电流 \(I\) 后，在另外两端口 \(l,m\)（取法：在连接端口 \(i,j\) 的直线段的一侧取端口 \(l\)，另一侧取端口 \(m\)）之间可以测到电压差 \(U_{lm}\)，进而可以得到相应的量子霍尔电阻 \(R_{i,j;l,m}=U_{lm}/I\)。
图 3a 中的器件可等效为图 3b 所示的含电源的电路：电路中的 \(I_i\) 是流入端口 \(i\) 的电流（电流为流出时，\(I_i\) 要改变符号）；\(r=R_H/2\) 为每个端口的固有电阻，\(r\) 为已知量；每一电源的量表示相应电源的电动势的值，且所有电源均无内阻；\(R_{ci}\) 是端口 \(i\) 因接入电路而产生的接触电阻，各端口接触电阻不一定相同，但它们与 \(r\) 的比值均为同一远小于 1 的量级 \(\varepsilon\)（约 0.1% 量级），即 \(\varepsilon_i\equiv R_{ci}/r\sim\varepsilon\ll 1\)。
(1) 在等效电路图 3b 中分别在哪两个端口接通电流、哪两个端口测量电压，可以得到与接触电阻 \(R_{ci}\) 无关的霍尔电阻？至少对一种接法证明你的结论。
(2) 现将两个图 3a 所示的器件 a、b 连为一个系统，每个器件仍分别等效为图 3b。器件 a、b 的端口分别标记为 1a 至 8a 和 1b 至 8b，已知相应端口的接触电阻分别为 \(R_{cia}\) 和 \(R_{cib}\,(i=1,\dots,8)\)。除各端口的接触电阻可能不同外，两器件其它性质相同。
(2.1) 当器件 a、b 的连接方式如图 3c 所示时，求把端口 7a 和 3b 之间断路时系统的霍尔电阻 \(R_{1a,5b;3a,7b}\)，以及把端口 7a 和 3b 之间连通时系统的霍尔电阻 \(R'_{1a,5b;3a,7b}\)。这两个霍尔电阻哪个受接触电阻影响导致的相对误差较小？证明你的结论。
(2.2) 当器件 a、b 按图 3d 所示的三重并联的方式连接时，求此系统在 A、B 点接入电流，在 C、D 点测量电压得到的霍尔电阻 \(R_{A,B;C,D}\)。各端点的接触电阻导致的 \(R_{A,B;C,D}\) 的相对误差为 \(\varepsilon\) 的几次方量级？在端口 5a、5b、6a、6b、7a、7b 的接触电阻均为零的假设下，证明你的结论。
0.1 本题在考什么（背景一小段）
1980 年冯·克利青发现量子霍尔效应：强磁场下二维电子气的霍尔电阻出现平台，平台值 \(R_H=h/(\nu e^2)\) 只由基本常数和整数 \(\nu\) 决定，与材料、尺寸、缺陷统统无关。凭这一点，量子霍尔效应从 1990 年起成为电阻基准；2019 年国际单位制改制后 \(h\)、\(e\) 变成定义值，它干脆直接"定义"了欧姆。但真实器件不是理想元件——每根引脚都有接触电阻。0.1% 的接触误差对普通测量无所谓，对计量学却是生死线。本题就是计量学家压接触误差的三板斧：第(1)问，量子霍尔器件本身就有一种"测压引线不流电流、同侧端口自动等势"的天然免疫；第(2)问，把两个器件串联、并联并在侧面加横向互连——每多一层互连，接触误差就被压低一个 \(\varepsilon\) 量级（\(\varepsilon\to\varepsilon^2\to\varepsilon^3\)）。这正是计量学里多重连接（multiple-series connection）和量子霍尔电阻阵列的思想原型。题目把这个工程技巧抽象成了一道纯粹的电路题：全题没有高深物理，考的是在电源电动势依赖于端口电流的"受控源"电路上，基尔霍夫定律的符号纪律和量级眼光。
0.2 逻辑地图（全题推导链）
第(1)问（6分）：读懂等效电路（环上边 \((i,i+1)\) 是纯电势源 \(r(I_i+I_{i+1})\)，端口引线 \(r+R_{ci}\)）→ 1、5 通电时全部 8 个电动势中只有 2 个非零 → 沿任一半环求电势升得 ① \(U_{73}=Ir+Ir\) → ③ \(R_{1,5;3,7}=2r=R_H\)，逐条论证与四个接触电阻都无关。
第(2.1)问（16分）：断路时电流处处为 \(I\)（⑤）→ 沿路径 7b→1b→5a→3a 求电压（⑥）→ ⑧ \(R=4r\bigl(1+\tfrac{R_{c5a}+R_{c1b}}{4r}\bigr)\)，误差 \(\sim\varepsilon\)。连通时 7a–3b 连线分流 \(I_{7a}\)：KCL（⑨）+ 环路（⑩）解出 \(I_{5a}=I\dfrac{4r+S_2}{4r+S_1+S_2}\) → 同一路径求电压（⑪）→ ⑬ \(R'=\dfrac{(4r+S_1)(4r+S_2)}{4r+S_1+S_2}=4r\Bigl[1+\dfrac{S_1S_2}{4r(4r+S_1+S_2)}\Bigr]\)，误差 \(\sim\varepsilon^2\)（⑭⑮）。连通更准。
第(2.2)问（23分）：8 个未知电流、8 个方程（⑰⑱+六条环路⑲–㉔）配平 → 但只解左半：㉔中 \(I_7\) 自动消去 → 分流公式 ㉖（一级失衡 \(\sim\varepsilon\)）→ ⑲展开得连线电流 ㉗ \(I_2\sim\varepsilon I\)（二级）→ ⑳展开得 ㉘ \(I_3\sim\varepsilon^2 I\)（三级）→ 两条路径求 \(U_{CD}\)（㉙㉚）相加除 2，含 \(I_5,I_6\) 的项全部相消、含 \(I_7\) 的项被假设㉕封死 → ㉛ \(U_{CD}=Ir+\tfrac12 I_3(R_{c3a}-R_{c3b})\) → ㉝㉞：\(R_{A,B;C,D}=r[1+O(\varepsilon^3)]\)。
全题只有一条主线：接触电阻造成分流不均（一阶误差种子）→ 横向连线给失衡电流出路，连线电流本身是一阶小量 → 它再驱动下一级连线，电流又压一阶 → 最后电压误差 = 三级电流 × 接触电阻差，凑够三个 \(\varepsilon\)。(2.1) 是一级互连、误差两阶；(2.2) 是三重互连、误差三阶。理解这条"误差级联"，后面的代数只是把它翻译出来。
一、工具箱
工具 3：量级语言 \(\varepsilon\)
\(\varepsilon_i\equiv R_{ci}/r\)，题目给定所有 \(\varepsilon_i\) 都是同一量级 \(\varepsilon\sim 0.1\%\ll 1\)。估计量级时：
$$\frac{R_{ci}}{4r+\text{其它接触电阻}}\sim\frac{\varepsilon r}{4r}\sim\varepsilon;\qquad
\varepsilon_i\pm\varepsilon_j\ \text{仍是}\ \varepsilon\ \text{量级（差可能更小，但上界是}\varepsilon\text{）}.$$
凡是"两个 \(\varepsilon\) 因子相乘"的项就是 \(\varepsilon^2\) 项，可以当着 \(\varepsilon\) 项的面扔掉。全题的问法（"误差是 \(\varepsilon\) 的几次方"）只需要数清误差表达式里乘了几个接触电阻因子，不需要真的展开到三阶。
二、第(1)问：天然免疫的霍尔电阻（6 分）
2.1 接法规则
答案的接法规则：任取两个不相邻的端口 \(i,j\) 通电流；用直线段 \(ij\) 把 8 个端口分成两侧，在一侧任取端口 \(l\)、另一侧任取端口 \(m\) 测电压，则 \(R_{i,j;l,m}=U_{lm}/I\) 与所有接触电阻无关。官方用 \(i=1,j=5\)（对顶）、\(l=3,m=7\) 示范，我们也跟着算这一种。
2.2 零跳步推导：只有 2 个电源是"醒"的
1、5 通电流 \(I\)：按符号约定 \(I_1=+I\)（流入），\(I_5=-I\)（流出），其余 \(I_2=\dots=I_4=I_6=\dots=I_8=0\)。逐边算电动势 \(E_{i,i+1}=r(I_i+I_{i+1})\)：
$$\begin{aligned}
E_{12}&=r(I+0)=rI, & E_{23}&=0, & E_{34}&=0, & E_{45}&=r(0+(-I))=-rI,\\
E_{56}&=r(-I+0)=-rI, & E_{67}&=0, & E_{78}&=0, & E_{81}&=r(0+I)=rI.
\end{aligned}$$
8 个电源里 6 个电动势为零。沿上半环从端口 7 走到端口 3（路径 7→8→1→2→3，与序号同向，电源全部正接）：
$$U_3-U_7=E_{78}+E_{81}+E_{12}+E_{23}=0+rI+rI+0,$$
$$\therefore\quad U_{73}=Ir+Ir. \tag{①}$$
自洽性检查（必须走另一条路验证）：沿下半环 7→6→5→4→3，逆序号方向、电源全部反接：
$$U_3-U_7=-E_{67}-E_{56}-E_{45}-E_{34}=-\bigl[0+(-rI)+(-rI)+0\bigr]=2rI.\ \checkmark$$
两条路径结果相同，说明电势确实单值、账本平衡（顺便验证：全环电动势之和 \(E_{12}+\dots+E_{81}=2r\sum_i I_i=2r(I-I)=0\)，恒为零——这是受控源规则自带的性质，对任何端口电流分布都成立）。
2.3 结果与"无关性"逐条论证
按霍尔电阻定义
$$R_{1,5;3,7}=\frac{U_{73}}{I}, \tag{②}$$
联立①②得
$$R_{1,5;3,7}=2r=R_H. \tag{③}$$
结论：\(R_{1,5;3,7}=2r=R_H\)，恰为量子霍尔电阻本身。逐一检查四个接触电阻：\(R_{c3},R_{c7}\) 在测压引线上，电压表不取电流，引线上无压降，测到的就是环上顶点电势；\(R_{c1},R_{c5}\) 虽流过电流 \(I\)，但它们在被测节点之外——电压表接的是 3 和 7，电流引线上的压降根本不进入 \(U_{73}\)。故③与一切 \(R_{ci}\) 无关。∎
同侧等势——①的背后性质：通电后，上半环端口 2、3、4 电势全部相等（\(E_{23}=E_{34}=0\)），下半环 6、7、8 电势全部相等，两侧之间差 \(2rI\)。物理上这正是量子霍尔边缘态的画像：每条边弧是没有背散射的理想一维通道，本身就是等势体，电势跳变只发生在电流注入/引出的端口附近。所以"哪两个口通电、对侧两口测压"的接法天然就是理想四端测量，接触电阻连一阶误差都塞不进来。
三、第(2.1)问：两个器件串联 + 一根横向连线（16 分）
3.1 系统拓扑（图 3c 的电气内容）
电流 \(I\) 从 1a 流入，穿过器件 a 从 5a 流出，经中间连线（串着 5a、1b 两根引线）流入 1b，穿过器件 b 从 5b 流出。电压测在 3a 与 7b 之间。另有底部连线把 7a 与 3b 相接，中间有个开关：断开与闭合两种情形分别计算。凡接入电流路径的端口，引线电阻都是
$$R_i=r+R_{ci},\qquad i=1\mathrm a,3\mathrm a,5\mathrm a,7\mathrm a,1\mathrm b,3\mathrm b,5\mathrm b,7\mathrm b. \tag{④}$$
3.2 断路情形：误差 \(\sim\varepsilon\)
开关断开时全系统只有一条电流通道，串联链上电流处处相等：
$$I_{1a}=I_{5a}=I_{1b}=I_{5b}=I, \tag{⑤}$$
其余端口（含 7a、3b、3a、7b）电流为零。3a、7b 是测压口，引线无压降。沿路径 7b→1b→5a→3a 求电势升（工具 2）：
- 7b→1b（器件 b 内，沿边 7b→8b→1b，顺序号）：升 \(=E_{78}^{(b)}+E_{81}^{(b)}=r(0+0)+r(0+I_{1b})=I_{1b}\,r\)；
- 1b→5a（跨中间连线，逆着电流 \(I_{5a}\)，过引线 \(R_{1b}+R_{5a}\)）：升 \(=+I_{5a}(R_{1b}+R_{5a})\)；
- 5a→3a（器件 a 内，沿边 5a→4a→3a，逆序号、电源反接）：升 \(=-E_{45}^{(a)}-E_{34}^{(a)}=-r\bigl(0+(-I_{5a})\bigr)-0=-(-I_{5a})r\)。
合计（官方⑥式）：
$$U_{7b,3a}=I_{1b}r+I_{5a}(R_{1b}+R_{5a})-(-I_{5a})r. \tag{⑥}$$
代入⑤（\(I_{1b}=I_{5a}=I\)）与④（\(R_{1b}+R_{5a}=2r+R_{c1b}+R_{c5a}\)）：
$$U_{7b,3a}=Ir+I(2r+R_{c1b}+R_{c5a})+Ir=I\bigl(4r+R_{c1b}+R_{c5a}\bigr).$$
由霍尔电阻定义
$$R_{1a,5b;3a,7b}=\frac{U_{7b,3a}}{I}, \tag{⑦}$$
联立④⑤⑥⑦式得
$$R_{1a,5b;3a,7b}=4r\left(1+\frac{R_{c5a}+R_{c1b}}{4r}\right). \tag{⑧}$$
断路：理想值 \(4r=2R_H\)（两个器件串联，各自贡献第(1)问的 \(2r\)，串联相加），相对误差 \(=\dfrac{R_{c5a}+R_{c1b}}{4r}\sim\varepsilon\)——中间连线的两根引线电阻原封不动地混进了测量值。
3.3 连通情形：误差 \(\sim\varepsilon^2\)
开关闭合后，7a–3b 连线出现分流。记 \(I_{7a}\) 为流入 7a 的电流（它从 3b 流出，沿线 3b→7a）。先盘点未知电流的走向：外部电流 \(I\) 从 1a 进，在器件 a 内与 7a 注入的 \(I_{7a}\) 汇合，从 5a 流出 \(I_{5a}\)；器件 a 的 KCL：
$$I+I_{7a}-I_{5a}=0. \tag{⑨}$$
串联关系：中间连线电流 \(I_{5a}\) 全部流入 1b，即 \(I_{1b}=I_{5a}\)；器件 b：1b 进 \(I_{5a}\)，5b 出 \(I\)，3b 出 \(I_{7a}\)，KCL \(I_{5a}=I+I_{7a}\) 与⑨一致。注意 \(I_{5a}\neq I\) 了——这是连通与断路的唯一本质差别。
沿环路 5a→1b→3b→7a→5a 写电势升为零：
- 5a→1b（连线，顺流 \(I_{5a}\)）：\(-I_{5a}(R_{5a}+R_{1b})\)；
- 1b→3b（器件 b 内，顺序号 1b→2b→3b）：升 \(=E_{12}^{(b)}+E_{23}^{(b)}=r(I_{1b}+0)+r(0+I_{3b})\)。代入 \(I_{1b}=I_{5a}\)、\(I_{3b}=-I_{7a}\)（流出为负）：\(=(I_{5a}-I_{7a})r\)；
- 3b→7a（底部连线，顺流 \(I_{7a}\)）：\(-I_{7a}(R_{3b}+R_{7a})\)；
- 7a→5a（器件 a 内，逆序号 7a→6a→5a，电源反接）：升 \(=-E_{67}^{(a)}-E_{56}^{(a)}=-r(0+I_{7a})-r(-I_{5a}+0)=(I_{5a}-I_{7a})r\)。
合计（官方⑩式）：
$$0=-I_{5a}(R_{5a}+R_{1b})+(I_{5a}-I_{7a})r-I_{7a}(R_{7a}+R_{3b})-(I_{7a}-I_{5a})r. \tag{⑩}$$
解出 \(I_{5a}\)（官方"联立"跳过的代数，这里写全）：记 \(S_1=R_{c5a}+R_{c1b}\)、\(S_2=R_{c7a}+R_{c3b}\)，则 \(R_{5a}+R_{1b}=2r+S_1\)、\(R_{7a}+R_{3b}=2r+S_2\)。⑩的中间两项合并：
$$(I_{5a}-I_{7a})r-(I_{7a}-I_{5a})r=2(I_{5a}-I_{7a})r\overset{\text{⑨}}{=}2Ir,$$
⑩变为
$$0=-I_{5a}(2r+S_1)+2Ir-I_{7a}(2r+S_2).$$
再用⑨把 \(I_{7a}=I_{5a}-I\) 代入：
$$0=-I_{5a}(2r+S_1)+2Ir-(I_{5a}-I)(2r+S_2)=-I_{5a}\bigl(4r+S_1+S_2\bigr)+I\bigl(2r+2r+S_2\bigr),$$
$$\therefore\quad I_{5a}=\frac{4r+S_2}{4r+S_1+S_2}\,I.$$
再沿同一条路径 7b→1b→5a→3a 求电压（逐项与 3.2 相同，只是把 \(I\) 换成 \(I_{5a}\)）：
$$U_{7b,3a}=I_{5a}r+I_{5a}(R_{5a}+R_{1b})-(-I_{5a})r=I_{5a}\bigl(4r+S_1\bigr). \tag{⑪}$$
由定义
$$R'_{1a,5b;3a,7b}=\frac{U_{7b,3a}}{I}, \tag{⑫}$$
联立④⑨⑩⑪⑫式得
$$R'_{1a,5b;3a,7b}=\frac{(4r+S_1)(4r+S_2)}{4r+S_1+S_2}
=4r\left[1+\frac{S_1S_2}{4r\bigl(4r+S_1+S_2\bigr)}\right]. \tag{⑬}$$
⑬的第二种写法是"理想值 + 修正"的标准形：展开 \((4r+S_1)(4r+S_2)=(4r)^2+4r(S_1+S_2)+S_1S_2\)，提出 \(4r(4r+S_1+S_2)\) 即得。注意 \(S_1\)、\(S_2\) 的一阶项恰好消光——这不是巧合，是连通的作用。
3.4 谁更准：误差量级的对账
断路情形⑧的相对误差
$$\frac{R_{c5a}+R_{c1b}}{4r}\sim\varepsilon\ \text{量级}. \tag{⑭}$$
连通情形⑬的相对误差
$$\frac{(R_{c5a}+R_{c1b})(R_{c7a}+R_{c3b})}{4r\bigl(4r+R_{c5a}+R_{c1b}+R_{c7a}+R_{c3b}\bigr)}\sim\varepsilon^2\ \text{量级}. \tag{⑮}$$
（分子两个接触电阻因子、分母 \(16r^2\) 量级：\(\varepsilon\cdot\varepsilon=\varepsilon^2\)。）由于 \(\varepsilon\ll 1\)，连通时 \(R'_{1a,5b;3a,7b}\) 的相对误差小得多。∎
为什么连一根线就压掉一阶？断路时，中间连线的接触压降 \(I\cdot S_1\) 全额进入被测电压（一阶污染）。连通后，7a–3b 连线给电流一条"旁路"：\(I_{5a}\) 自动调整为 \(I\bigl(1-\tfrac{S_1}{4r}+O(\varepsilon^2)\bigr)\)，主通道电流的小幅重排把一阶污染对冲掉，剩下的只是两堆接触电阻的乘积项。一阶误差被"分流"这个自由度吸收，是 (2.1) 的核心机制，也是 (2.2) 的预演。
四、第(2.2)问：三重并联与 \(\varepsilon^3\)（23 分）
4.1 拓扑、未知数与方程配平
图 3d 的电气内容（上、中、下三重互连，故名三重并联）：
- 中重：外部端子 A 把 1a、1b 并接（电流 \(I\) 在此分流），外部端子 B 把 5a、5b 并接（电流在此汇合流出）；
- 上重：端口对 2a–2b、3a–3b 分别互连；下重：端口对 6a–6b、7a–7b 分别互连。四条横向连线各串着两个端口的引线；
- 电压端 C 接在 3a–3b 连线上，D 接在 7a–7b 连线上，测 \(U_{CD}\)。
记号：连线电流 \(I_i\,(i=2,3,6,7)\)，规定流入端口 i a、流出端口 i b 为正。接入电路端口的引线电阻
$$R_{ia}=r+R_{cia},\qquad R_{ib}=r+R_{cib},\qquad i=1,2,3,5,6,7, \tag{⑯}$$
并为书写方便引入
$$R_{i+}=R_{ia}+R_{ib},\qquad R_{i-}=R_{ia}-R_{ib}.$$
两个外部端子的 KCL：
$$I=I_{1a}+I_{1b}, \tag{⑰}$$
$$I=I_{5a}+I_{5b}. \tag{⑱}$$
未知数 8 个：\(I_{1a},I_{1b},I_{5a},I_{5b},I_2,I_3,I_6,I_7\)；方程 8 个：⑰⑱ 加下面六条环路——配平。
4.2 六条环路方程（每条逐项交代来历）
六条环路官方编号⑲–㉔。下面每条先给方程，再用一句话对账（规则：工具 1 + 工具 2）。
⑲ 环路 1→1a→2a→2b→1b→1（A 端出发，上重左环）：
$$0=-I_{1a}R_{1a}+(I_{1a}+I_2)r+I_2R_{2+}-(-I_2+I_{1b})r+I_{1b}R_{1b} \tag{⑲}$$
对账：A→1a 顺流降 \(I_{1a}R_{1a}\)；边 1a→2a 顺序号电源升 \(r(I_{1a}+I_2)\)；连线 2a→2b 逆流（\(I_2\) 从 2b 流向 2a）升 \(I_2R_{2+}\)；边 2b→1b 逆序号反接 \(-r(I_{2b}+I_{1b})=-(-I_2+I_{1b})r\)；1b→A 逆流升 \(I_{1b}R_{1b}\)。
⑳ 环路 2a→3a→3b→2b→2a（上重小环）：
$$0=(I_2+I_3)r+I_3R_{3+}-(-I_2-I_3)r-I_2R_{2+} \tag{⑳}$$
对账：边 2a→3a 升 \(r(I_2+I_3)\)；连线 3a→3b 逆流升 \(I_3R_{3+}\)；边 3b→2b 逆序号 \(-r(I_{2b}+I_{3b})=-(-I_2-I_3)r\)；连线 2b→2a 顺流降 \(I_2R_{2+}\)。
㉑ 环路 5→5a→3a→3b→5b→5 与 ㉒ 环路 5→5a→6a→6b→5b→5（B 端两个环）：
$$0=I_{5a}R_{5a}-(-I_{5a}+I_3)r+I_3R_{3+}+(-I_3-I_{5b})r-I_{5b}R_{5b} \tag{㉑}$$
$$0=I_{5a}R_{5a}+(-I_{5a}+I_6)r+I_6R_{6+}-(-I_{5b}-I_6)r-I_{5b}R_{5b} \tag{㉒}$$
㉓ 环路 6a→7a→7b→6b→6a（下重小环）：
$$0=(I_6+I_7)r+I_7R_{7+}-(-I_6-I_7)r-I_6R_{6+} \tag{㉓}$$
㉔ 环路 1→1a→7a→7b→1b→1（A 端出发，下重左环）：
$$0=-I_{1a}R_{1a}-(I_{1a}+I_7)r+I_7R_{7+}+(-I_7+I_{1b})r+I_{1b}R_{1b} \tag{㉔}$$
对账方式与⑲⑳完全同构（边 1a→7a 要经 8a，逆序号、两段电源合并 \(-r(I_{1a}+I_7)\)，因为 \(I_{8a}=0\)）。
这六条方程一个符号都错不起，但生成方式是完全机械的：盯住绕行方向，电阻"顺降逆升"、电源"顺序号升、逆序号降"、端口电流"流入为正"。考场上与其背方程，不如把工具 2 的三条规则练成肌肉记忆。
4.3 ㉕假设封的是什么（先讲清再动手）
题目给定的简化假设
$$R_{c5a}=R_{c5b}=R_{c6a}=R_{c6b}=R_{c7a}=R_{c7b}=0. \tag{㉕}$$
先预告它干了什么（详见 4.6–4.8）：最后 \(U_{CD}\) 里唯一带右半系统信息的项是 \(-\tfrac12 I_7(R_{7a}-R_{7b})=-\tfrac12 I_7(R_{c7a}-R_{c7b})\)，㉕把它精确归零；同时㉕让左半环路⑲⑳㉔自成封闭小组，\(I_{1a},I_{1b},I_2,I_3\) 四个未知数四个方程（⑰⑲⑳㉔）即可解出，右半的 \(I_{5a},I_{5b},I_6,I_7\) 一个都不用解。
4.4 第一级：A 端分流（㉖）——误差种子 \(\sim\varepsilon\)
看⑭式即㉔：把含 \(I_7\) 的项收集起来——
$$-(I_{1a}+I_7)r+I_7R_{7+}+(-I_7+I_{1b})r=-I_{1a}r+I_{1b}r+I_7\bigl(-r+R_{7+}-r\bigr).$$
由㉕，\(R_{7+}=R_{7a}+R_{7b}=2r\)，于是 \(I_7\) 的系数 \(-r+2r-r=0\)——\(I_7\) 自动消去（这正是㉕的第一重作用）。㉔剩下
$$0=-I_{1a}(R_{1a}+r)+I_{1b}(R_{1b}+r)\quad\Longrightarrow\quad I_{1a}\bigl(2r+R_{c1a}\bigr)=I_{1b}\bigl(2r+R_{c1b}\bigr).$$
物理含义一目了然：1a、1b 两条支路引线电阻（环内两段电源电动势之差为零）相等时均分电流；电阻不同则反比分流。联立⑯⑰㉔㉕式解得
$$I_{1a}=\frac{2r+R_{c1b}}{4r+R_{c1a}+R_{c1b}}\,I,\qquad
I_{1b}=\frac{2r+R_{c1a}}{4r+R_{c1a}+R_{c1b}}\,I. \tag{㉖}$$
若 \(R_{c1a}\neq R_{c1b}\)，分流不均：\(I_{1a}-I_{1b}=\dfrac{2r(R_{c1b}-R_{c1a})\cdot 2}{(4r+\dots)^2}I\sim\varepsilon I\)。端口 1 的接触电阻差是全系统第一个误差源，一阶。
4.5 第二级：上重连线电流 \(I_2\)（㉗）
展开⑲，把含 \(I_{1a},I_{1b}\) 的项和含 \(I_2\) 的项分别归堆（用 \(R_{1a}=r+R_{c1a}\)）：
$$\begin{aligned}
0&=-I_{1a}(r+R_{c1a})+I_{1a}r+I_2r+I_2R_{2+}+I_2r-I_{1b}r+I_{1b}(r+R_{c1b})\\
&=-I_{1a}R_{c1a}+I_{1b}R_{c1b}+I_2\bigl(2r+R_{2+}\bigr).
\end{aligned}$$
注意引线里的 \(r\) 与边电源提供的 \(r\) 逐项抵消，剩下的全是接触电阻项：
$$I_2\bigl(4r+R_{c2a}+R_{c2b}\bigr)=I_{1a}R_{c1a}-I_{1b}R_{c1b}.$$
把㉖代入右端：
$$I_{1a}R_{c1a}-I_{1b}R_{c1b}
=\frac{(2r+R_{c1b})R_{c1a}-(2r+R_{c1a})R_{c1b}}{4r+R_{c1a}+R_{c1b}}\,I
=\frac{2r\bigl(R_{c1a}-R_{c1b}\bigr)}{4r+R_{c1a}+R_{c1b}}\,I,$$
（交叉项 \(R_{c1b}R_{c1a}-R_{c1a}R_{c1b}=0\) 精确相消，只剩 \(2r\) 乘差值。）于是联立⑯⑲㉕㉖式得
$$I_2=\frac{2r\bigl(R_{c1a}-R_{c1b}\bigr)}{\bigl(4r+R_{c1a}+R_{c1b}\bigr)\bigl(4r+R_{c2a}+R_{c2b}\bigr)}\,I. \tag{㉗}$$
\(I_2\sim\dfrac{\varepsilon r}{4r}I\sim\varepsilon I\)：1 口接触失衡（一阶）驱动 2–2 连线电流，仍是一阶小量。若两器件 1 口接触电阻相等，\(I_2\) 恒为零——对称时横向连线根本不动。
4.6 第三级：3–3 连线电流 \(I_3\)（㉘）
展开⑳：
$$0=2(I_2+I_3)r+I_3R_{3+}-I_2R_{2+}=I_2\bigl(2r-R_{2+}\bigr)+I_3\bigl(2r+R_{3+}\bigr).$$
用 \(R_{2+}=2r+R_{c2a}+R_{c2b}\)、\(2r+R_{3+}=4r+R_{c3a}+R_{c3b}\)：
$$I_3\bigl(4r+R_{c3a}+R_{c3b}\bigr)=I_2\bigl(R_{c2a}+R_{c2b}\bigr),$$
联立⑯⑳㉕㉗式得
$$I_3=\frac{2r\bigl(R_{c1a}-R_{c1b}\bigr)\bigl(R_{c2a}+R_{c2b}\bigr)}
{\bigl(4r+R_{c1a}+R_{c1b}\bigr)\bigl(4r+R_{c2a}+R_{c2b}\bigr)\bigl(4r+R_{c3a}+R_{c3b}\bigr)}\,I. \tag{㉘}$$
\(I_3=I_2\cdot\dfrac{R_{c2a}+R_{c2b}}{4r+\dots}\sim\varepsilon I_2\sim\varepsilon^2 I\)：第二级连线电流被 2 口接触电阻又压了一阶。级联到此成形：\(\underbrace{R_{c1a}-R_{c1b}}_{\text{种子}}\to I_2\sim\varepsilon I\to I_3\sim\varepsilon^2 I\)。
4.7 电压 \(U_{CD}\)：两条路径 + 相加除 2（㉙㉚㉛）
C 在 3–3 连线上、D 在 7–7 连线上。官方沿两条路径各算一次 \(U_{CD}\)：
路径一 D→7a→6a→5a→3a→C（穿器件 a）：
$$U_{CD}=-I_7R_{7a}-(I_7+I_6)r-(I_6-I_{5a})r-(-I_{5a}+I_3)r+I_3R_{3a} \tag{㉙}$$
（对账：D→7a 顺 \(I_7\) 降；边 7a→6a 逆序号 \(-r(I_6+I_7)\)；边 6a→5a 逆序号 \(-r(I_{5a}^{(\text{端口})}+I_6)=-(I_6-I_{5a})r\)，注意 5a 端口电流为流出取负；边 5a→3a 逆序号两段合并 \(-(-I_{5a}+I_3)r\)；3a→C 逆 \(I_3\) 升。）
路径二 D→7b→6b→5b→3b→C（穿器件 b）：
$$U_{CD}=I_7R_{7b}-(-I_7-I_6)r-(-I_6-I_{5b})r-(-I_{5b}-I_3)r-I_3R_{3b} \tag{㉚}$$
将㉙㉚式相加除 2。逐类项合并（官方跳过、这里写全）：
- 含 \(I_7\) 的电阻项：\(-I_7R_{7a}+I_7R_{7b}=-I_7(R_{7a}-R_{7b})\)；
- 含 \(I_3\) 的电阻项：\(I_3R_{3a}-I_3R_{3b}=I_3(R_{3a}-R_{3b})\)；
- 所有 \(r\) 项：系数和为
$$-(I_7+I_6)-(I_6-I_{5a})-(-I_{5a}+I_3)-(-I_7-I_6)-(-I_6-I_{5b})-(-I_{5b}-I_3)$$
$$=\underbrace{(-I_7+I_7)}_{0}+\underbrace{(-I_6-I_6+I_6+I_6)}_{0}+2I_{5a}+2I_{5b}+\underbrace{(-I_3+I_3)}_{0}=2(I_{5a}+I_{5b})\overset{\text{⑱}}{=}2I.$$
于是
$$U_{CD}=\frac{-I_7(R_{7a}-R_{7b})+2Ir+I_3(R_{3a}-R_{3b})}{2}. \tag{㉛}$$
㉛是全题最漂亮的一步：\(I_6\) 四现四消；\(I_{5a},I_{5b}\) 只靠⑱的和出现，各自的具体值（由右半环路决定）根本不用求；\(I_7\) 只剩 \(R_{7a}-R_{7b}=R_{c7a}-R_{c7b}\) 这一个"后门"——由㉕精确归零。㉛立刻退化为
$$U_{CD}=Ir+\frac{1}{2}I_3\bigl(R_{c3a}-R_{c3b}\bigr).$$
4.8 结果与量级（㉜㉝㉞）
由霍尔电阻的定义
$$R_{A,B;C,D}=\frac{U_{CD}}{I}, \tag{㉜}$$
代入 \(U_{CD}=Ir+\tfrac12 I_3(R_{c3a}-R_{c3b})\) 与㉘的 \(I_3\)，联立方程⑯㉘㉛㉜式得
$$R_{A,B;C,D}=r\left[1+\frac{\bigl(R_{c1a}-R_{c1b}\bigr)\bigl(R_{c2a}+R_{c2b}\bigr)\bigl(R_{c3a}-R_{c3b}\bigr)}
{\bigl(4r+R_{c1a}+R_{c1b}\bigr)\bigl(4r+R_{c2a}+R_{c2b}\bigr)\bigl(4r+R_{c3a}+R_{c3b}\bigr)}\right]. \tag{㉝}$$
主结果：\(R_{A,B;C,D}=r=\dfrac{R_H}{2}\)（理想值）——两个器件并联各分约 \(I/2\)，每个产生霍尔电压 \(2r\cdot\tfrac{I}{2}=rI\)，故系统的"霍尔电阻"减半。相对误差
$$\frac{\bigl(R_{c1a}-R_{c1b}\bigr)\bigl(R_{c2a}+R_{c2b}\bigr)\bigl(R_{c3a}-R_{c3b}\bigr)}
{\bigl(4r+R_{c1a}+R_{c1b}\bigr)\bigl(4r+R_{c2a}+R_{c2b}\bigr)\bigl(4r+R_{c3a}+R_{c3b}\bigr)}
=\frac{(\varepsilon_{1a}-\varepsilon_{1b})(\varepsilon_{2a}+\varepsilon_{2b})(\varepsilon_{3a}-\varepsilon_{3b})}
{(4+\varepsilon_{1a}+\varepsilon_{1b})(4+\varepsilon_{2a}+\varepsilon_{2b})(4+\varepsilon_{3a}+\varepsilon_{3b})}\sim\varepsilon^3. \tag{㉞}$$
分子三个接触电阻因子、分母三个 \(4r\)：误差是 \(\varepsilon\) 的三次方量级。∎
三个 \(\varepsilon\) 各从哪来（一图流）：
$$\underbrace{\frac{R_{c1a}-R_{c1b}}{4r}}_{\varepsilon^{(1)}:\ A端分流不均}
\;\longrightarrow\;I_2\sim\varepsilon I
\;\underbrace{\times\frac{R_{c2a}+R_{c2b}}{4r}}_{\varepsilon^{(2)}:\ I_3\text{被}2\text{口再压一阶}}
\;\longrightarrow\;I_3\sim\varepsilon^2 I
\;\underbrace{\times\frac{R_{c3a}-R_{c3b}}{2}\cdot\frac{1}{r}}_{\varepsilon^{(3)}:\ I_3\text{流过}3\text{口接触差变成电压}}
\;\longrightarrow\;\frac{\delta R}{r}\sim\varepsilon^3.$$
对比：(2.1) 单根连线只能凑出两个因子（\(\varepsilon^2\)）；三重并联的三重互连凑出三个（\(\varepsilon^3\)）。每多一重互连，误差级联就多走一级，误差就低一阶——这就是"三重"的全部含义。
4.9 ㉕到底封死了什么（右半系统的命运）
一个自然的疑问：凭什么只解左半？右半的 \(I_{5a},I_{5b},I_6,I_7\) 会不会偷偷贡献低阶误差？把逻辑走完：
- ㉛已经证明：无论右半电流取什么值，\(I_{5a},I_{5b}\) 只以和 \(I\) 进入 \(U_{CD}\)，\(I_6\) 根本不进入——右半信息唯一的渗透通道是 \(-\tfrac12 I_7(R_{c7a}-R_{c7b})\)；
- ㉕把这个通道精确关闭，并且顺带令 \(R_{7+}=2r\)，使㉔中的 \(I_7\) 消去、左半四环自成封闭可解小组。所以㉕不是"近似"，是把证明变成单侧代数的开关；
- 若放开㉕会怎样？㉒给出 \(I_6\) 由 \(R_{c5}\) 失衡驱动（\(I_6\sim\varepsilon I\)），㉓给出 \(I_7=I_6\dfrac{R_{c6a}+R_{c6b}}{4r+\dots}\sim\varepsilon^2 I\)，于是渗透项 \(I_7(R_{c7a}-R_{c7b})\sim\varepsilon^3 rI\)——右半也自带着同样的三级级联，误差仍是三阶。题目加㉕只是让考生不必解全 8 元方程组即可完成证明。（有兴趣可让学生验证上面两步，逻辑与左半完全镜像。）
五、复盘与自测
5.1 三种接法总账
| 接法 | 理想霍尔电阻 | 接触误差量级 | 机制 |
|---|
| 单器件，对侧测压（第(1)问） | \(2r=R_H\) | 零（精确无关） | 测压引线无电流 + 同侧等势 |
| 两器件串联，无横连（2.1 断路） | \(4r=2R_H\) | \(\varepsilon\) | 连线接触压降全额入表 |
| 两器件串联，加一根横连（2.1 连通） | \(4r=2R_H\) | \(\varepsilon^2\) | 主通道电流重排，一阶对冲 |
| 三重并联（2.2） | \(r=R_H/2\) | \(\varepsilon^3\) | 三级误差级联，每重互连压一阶 |
串、并联还能改变量值本身（\(R_H\to 2R_H\) 或 \(R_H/2\)）——这正是用量子霍尔器件阵列拼凑任意标准电阻值的技术原型。
① \(I_i\) 的符号约定（流入为正）贯穿全题，电源电动势 \(r(I_i+I_{i+1})\) 里一旦把流出写成正，整条环路报废。② 连线电流正方向"流入 i a、流出 i b"是㉗㉘分子符号的来源，方向规定反了，\(R_{c1a}-R_{c1b}\) 就变号。③ (2.1) 连通后中间连线电流是 \(I_{5a}\neq I\)，先解 \(I_{5a}\) 再算电压，顺序不能反。④ (2.2) 的结果主项是 \(r\) 不是 \(2r\)——并联减半，别被第(1)问的肌肉记忆带跑。⑤ ㉙㉚相加除 2 时 \(r\) 项合并要用⑱，少一步就得不出干净的 \(2Ir\)。
5.2 自测清单
- 不看解答，用工具 2 的三条规则独立写出环路⑲，并说出每一项的绕行方向依据。
- 独立从⑨⑩推出 \(I_{5a}=I\dfrac{4r+S_2}{4r+S_1+S_2}\)，并解释为什么⑬中没有 \(S_1,S_2\) 的一阶项。
- 默写㉛的合并过程：\(I_6\) 怎么消的？\(2Ir\) 用了哪个方程？\(I_7\) 剩下什么系数？
- 一句话说清 \(\varepsilon^3\) 的三个 \(\varepsilon\) 各自来源（种子 → 第二级 → 第三级）。
- 若 \(R_{c1a}=R_{c1b}\)（仅这一对相等），㉝的误差是多少？（答案：精确为零——种子没了，整层级联无源。）
- 为什么第(1)问里 \(R_{c1},R_{c5}\) 流过大电流却丝毫不影响测量？
附：本文全部 34 个编号公式已与官方参考解答逐式核对一致（含㉑的符号——低倍扫描件易把 "+(−I₃−I_{5b})r" 误读为负，已用 400dpi 局部确认）；官方"联立…式可解得"处跳过的代数（㉖㉗㉘的代入、⑩到 \(I_{5a}\) 的整理、㉛的项合并）均已在此补全。