第42届复赛·理论第二题 精讲（零跳步版）

重离子束探针（HIBP）· Proca–Green 平行板能量分析器 · 45分 · 每次求导、每步几何全部写全
几何部分请随时对照原卷图 2a、图 2b

〇、背景：这道题是一台真实仪器的"设计说明书"

0.1 难题：怎么给几千万度的等离子体"量体温、测电压"？

磁约束聚变装置（托卡马克）芯部的等离子体温度高达几千万度，任何实体温度计伸进去都会瞬间气化，还会污染等离子体。但物理学家偏偏想知道芯部每一点的电势 \(\varphi\)——它直接关系到等离子体的约束品质、涨落和输运，是聚变研究的核心诊断量。

怎么办？思路是打一发"子弹"进去，让它在里面"变身"，再飞出来接受检查。这就是重离子束探针（Heavy Ion Beam Probe, HIBP），1970–80 年代由苏联学者在 T-10 托卡马克上发明，此后装在美国的 TEXT、西班牙的 TJ-II、中国的 HL-2A 等装置上，至今是测芯部电势的主力手段。

0.2 HIBP 的物理链条（就是图 2a）

① 加速器把重离子（题中取电荷 \(q_1=e\)，动能 \(K_1\)，常用 Tl⁺、Cs⁺ 等）射入等离子体；
② 在"测量位置"（那里电势为 \(\varphi\)），离子与电子碰撞再被电离一次，电荷从 \(+e\) 变成 \(+2e\)——这发"子弹"变身了；
③ 磁场对运动电荷不做功，但会使其偏转。二次离子电荷不同，偏转半径与一次离子不同，于是沿着另一条轨道自己飞出等离子体；
④ 在装置外接住它，精确测出它的动能 \(K_2\)。

电荷从 \(e\) 跳到 \(2e\) 是全部机关所在：穿过同一段电势差，二次离子"领到的"电势能是一次离子的两倍，一里一外，\(\varphi\) 就被换算成了动能差 \(K_2-K_1\)（第(2.3)问）。

0.3 Proca–Green 平行板能量分析器

最后一步"测 \(K_2\)"用的是 1970 年 Proca 和 Green 设计的平行板静电能量分析器（图 2b）：两块平行板加电压 \(V_A\)，板间匀强电场，离子从入射缝斜射进去走一段抛物线再出来，打到接收板上。不同能量的离子落点不同——本质上是台"弯出去的斜抛测能计"。

它的招牌设计就是本题要证的东西：入射角取 30° 时实现"二级聚焦"——入射角有小误差时，落点误差是三阶小量。这个 30° 在文献里就叫 Proca–Green 角。

0.4 题目地图

第(1)部分 设计仪器：(1.1) 写落点几何关系 → (1.2) 用二级聚焦条件定出 30° 和电压公式 → (1.3) 证明聚焦系统把入射缝上的位置逐点成像到接收板；
第(2)部分 用仪器测量：(2.1) 偏离设计值时落点怎么动 → (2.2) 用接收板两半的电流比反演 \(K_2\) → (2.3) 由 \(K_2\) 算出等离子体电势 \(\varphi\)。

全题 45 分，只用三样东西：高中斜抛运动、静电场能量守恒、泰勒展开。区分度全在"聚焦阶数"的概念和"成像"的思想上。

一、工具箱（全部给出推导）

工具1：斜抛射程 —— 从牛顿定律推起

水平方向匀速、竖直方向匀加速（加速度 \(a\) 向下）。初速率 \(v\)，仰角 \(\theta\)。取出发点为原点：

$$x=v\cos\theta\cdot t,\qquad y=v\sin\theta\cdot t-\frac12at^2$$

"回到同一高度"即 \(y=0\)：\(t\left(v\sin\theta-\frac12at\right)=0\)，舍去 \(t=0\)（出发时刻），得飞行时间

$$T=\frac{2v\sin\theta}{a}$$

代回 \(x\)：射程 \(=v\cos\theta\cdot\dfrac{2v\sin\theta}{a}=\dfrac{v^2\cdot 2\sin\theta\cos\theta}{a}\)。用二倍角公式 \(2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta\)：

$$X_{\text{射程}}=\frac{v^2\sin2\theta}{a}\quad\blacksquare$$

对称性（本题反复用）：\(y\) 是开口向下的抛物线，\(y=0\) 的两根 \(0\) 与 \(T\) 对称，故落地速度与起飞速度关于水平面对称——出射角仍是 \(\theta\)，只是转为俯角，速率不变。所以离子穿过电场区后，方向"复原"，只是整体平移了一段 \(X_{\text{射程}}\)。

工具2：四个三角函数求导（都从 \((\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x\) 推出）

① \((\tan x)'=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)'=\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x\)

② \((\cot x)'=\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)'=\dfrac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x}=-\csc^2 x\)

③ \((\sec^2 x)'\)：链式法则，\(\sec^2 x=(\cos x)^{-2}\)，导数 \(=-2(\cos x)^{-3}(-\sin x)=2\dfrac{\sin x}{\cos^3 x}=2\sec^2 x\tan x\)

④ \((\csc^2 x)'\)：同理，\((\sin x)^{-2}\) 的导数 \(=-2(\sin x)^{-3}\cos x=-2\csc^2 x\cot x\)

再备两条恒等式：和角公式 \(\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)；二倍角 \(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)。全题三角运算就这些。

工具3：泰勒展开与"几级聚焦"到底指什么

光滑函数在某点 \(x_0\) 附近总可以写成

$$f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x+\frac{f''(x_0)}{2}(\Delta x)^2+\frac{f'''(x_0)}{6}(\Delta x)^3+\cdots$$

现在 \(f\) 是"落点位置"，\(\Delta x\) 是某个误差（入射角误差、能量误差）。误差对落点的影响被哪一阶主导，就叫几级聚焦：

普通（零级）：影响 \(\sim f'\Delta x\)，一阶，误差直接漏进结果；
一级聚焦：设计使 \(f'(x_0)=0\)，影响降为 \(\sim(\Delta x)^2\)；
二级聚焦：设计使 \(f'(x_0)=f''(x_0)=0\)，影响降为 \(\sim(\Delta x)^3\)。

举例感受三阶的威力：角度误差 \(\Delta\theta=0.01\) rad（约 0.6°），一阶影响是 \(0.01\)，三阶只有 \(10^{-6}\)——差了四个数量级。这就是为什么仪器要追高级聚焦。

判断"扔哪项"的标准还是看量级，本文每个展开都会写明代数依据。

工具4：二元函数的展开

第(2.1)问里落点同时依赖角度误差 \(\delta\theta\) 和能量误差 \(\delta G\)，两个都是小量。展开式是一维的直接推广——每个自变量各阶都列出来，按"总阶数"从低到高排：

$$N(\theta_0+\delta\theta,\,G_0+\delta G)=N_0+\underbrace{N_\theta\,\delta\theta+N_G\,\delta G}_{\text{一阶}} +\underbrace{\tfrac12N_{\theta\theta}(\delta\theta)^2+N_{\theta G}\,\delta\theta\,\delta G+\tfrac12N_{GG}(\delta G)^2}_{\text{二阶}} +\underbrace{\tfrac16N_{\theta\theta\theta}(\delta\theta)^3+\cdots}_{\text{三阶}}$$

其中 \(N_\theta\) 表示对 \(\theta\) 的偏导数（求导时把 \(G\) 当常数），其余同理。别怕符号，其实就是"一次只对一个字母用工具3"。

工具5：成像 = 线性映射

一个光学（或粒子光学）系统把"物"上的点映到"像"上的点，若关系是

$$s=s_0+m\,l$$

（\(l\)：物上坐标，\(s\)：像上坐标，\(m\) 常数），就说它成像：\(m\) 叫放大率，\(m<0\) 叫倒立（物上移、像下移），\(|m|=1\) 叫等大。关键判据是：\(m\) 必须不随"从哪个角度进"而变，否则同一点发出的不同角度的粒子会落到不同地方，像就糊了。二级聚焦恰好保证了"角度差异的影响是三阶小量"，所以第(1.3)问才能谈成像——这两问是因果关系。

工具6：静电场中的能量守恒

电荷 \(q\) 从电势 \(\varphi_A\) 处移到 \(\varphi_B\) 处，静电力做功 \(W=q(\varphi_A-\varphi_B)\)，转化为动能增量：

$$K_B-K_A=q(\varphi_A-\varphi_B)$$

取等离子体外 \(\varphi=0\) 为参考。正电荷往高电势处走（"爬坡"）动能减少 \(q\varphi\)，往低电势处走动能增加。就这一句，第(2.3)问全用完。磁场始终不做功（洛伦兹力垂直速度），所以经过磁场不改变动能数值。

二、建立模型 + 第（1.1）问：\(X_D\) 的表达式

2.1 三段运动拆解

取下极板为 \(y=0\)，上极板 \(y=d\)，板间匀强电场 \(E=V_A/d\) 竖直向下，二次离子（\(q_2=2e\)，质量 \(m\)）在板间受恒定向下加速度

$$a=\frac{q_2E}{m}=\frac{q_2V_A}{md}=\frac{2eV_A}{md}$$

对照图 2b，离子的一生分三段：

段一（入射漂移，无场区）：从入射缝（低于下极板 \(Y_{D1}\)）以仰角 \(\theta_I\) 直线飞，升到 \(y=0\)，水平前进 \(Y_{D1}\cot\theta_I\)（竖直上升 \(Y_{D1}\)，水平 = 竖直 ÷ \(\tan\theta_I\)）；
段二（板间斜抛）：以速率 \(v\)、仰角 \(\theta_I\) 进入匀强电场，走抛物线回到 \(y=0\)。由工具1，水平射程 \(=\dfrac{v^2\sin 2\theta_I}{a}\)，出射方向仍为 \(\theta_I\)（转为俯角）；
段三（出射漂移，无场区）：以俯角 \(\theta_I\) 直线下降 \(Y_{D2}\) 到接收板，水平再走 \(Y_{D2}\cot\theta_I\)。

式子里 \(\dfrac{v^2}{a}\) 会反复出现，给它起个名字——特征长度 \(G\)（量纲：\(\frac{(\text{m/s})^2}{\text{m/s}^2}=\text{m}\) ✓）：

$$G\equiv\frac{v^2}{a}=\frac{\frac{2K_2}{m}}{\frac{q_2V_A}{md}}=\frac{2K_2d}{q_2V_A}=\frac{K_2d}{eV_A}$$

最后一步用了 \(q_2=2e\)。\(G\) 的物理含义：速度全转成竖直向上时恰好能爬的高度（的两倍），它是"能量有多难被电场掰弯"的度量。第(2)部分会看到，测 \(K_2\) 等价于测 \(G\)。

2.2 (1.1) 三段水平位移相加

$$X_D=\underbrace{Y_{D1}\cot\theta_I}_{\text{段一}}+\underbrace{G\sin2\theta_I}_{\text{段二}}+\underbrace{Y_{D2}\cot\theta_I}_{\text{段三}}$$
$$X_D=(Y_{D1}+Y_{D2})\cot\theta_I+G\sin2\theta_I$$

此后全程用缩写 \(H\equiv Y_{D1}+Y_{D2}\)（两段漂移的总竖直落差）。

三、第（1.2）问：二级聚焦 \(\Rightarrow\ \theta_I=30^\circ\)

离子束里每颗粒子的入射角不可能完全一样（束流总有角宽度），\(K_2\) 也靠落点位置反推，所以"落点对角度的敏感度"直接决定能量分辨率。要求：\(\theta_I\) 取某个设计角 \(\theta_0\) 时，落点 \(X_D(\theta)\) 对角度的一阶、二阶导数同时为零（工具3）——两个方程，正好解出两个未知的设计量 \(\theta_0\) 与 \(G\)。

3.1 一阶导数 = 0

对 \(X_D=H\cot\theta+G\sin2\theta\) 求导（工具2②，外加 \((\sin2\theta)'=2\cos2\theta\)）：

$$\frac{\partial X_D}{\partial\theta}=-H\csc^2\theta+2G\cos2\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad G=\frac{H}{2\sin^2\theta\cos2\theta}\tag{1}$$

3.2 二阶导数 = 0

对一阶导数再导一次（工具2④用于 \((\csc^2\theta)'\)，\((\cos2\theta)'=-2\sin2\theta\)）：

$$\frac{\partial^2 X_D}{\partial\theta^2}=2H\csc^2\theta\cot\theta-4G\sin2\theta=0\tag{2}$$

3.3 联立求解（一步不跳）

把（1）代入（2）：

$$2H\csc^2\theta\cot\theta=4\cdot\frac{H}{2\sin^2\theta\cos2\theta}\cdot\sin2\theta$$

两边约去 \(2H\)，注意 \(\csc^2\theta=\dfrac{1}{\sin^2\theta}\)：

$$\frac{\cot\theta}{\sin^2\theta}=\frac{1}{\sin^2\theta}\cdot\frac{\sin2\theta}{\cos2\theta} \quad\Longrightarrow\quad \cot\theta=\tan2\theta$$

用 \(\cot\theta=\tan(90^\circ-\theta)\)：

$$\tan(90^\circ-\theta)=\tan2\theta\quad\Longrightarrow\quad 90^\circ-\theta=2\theta\quad\Longrightarrow\quad \theta=30^\circ$$

物理解围：\(\theta_I\) 实际只取 \(0\sim45^\circ\)（再大抛物线太平、仪器过长），\(\tan\) 在此区间单调，解唯一。这个 30° 就是文献里的 Proca–Green 角。

3.4 回代，拿到全部设计参数

\(\theta=30^\circ\) 时 \(\sin^2 30^\circ=\frac14\)，\(\cos60^\circ=\frac12\)，代入（1）：

$$G=\frac{H}{2\cdot\frac14\cdot\frac12}=4H$$

由 \(G=\dfrac{2K_2d}{q_2V_A}\) 反解电压（\(q_2=2e\)）：

$$\theta_I=30^\circ,\qquad V_A=\frac{2K_2d}{q_2\cdot4H}=\frac{K_2d}{4e(Y_{D1}+Y_{D2})}$$ $$X_D=H\cot30^\circ+4H\sin60^\circ=\sqrt3\,H+4H\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\,(Y_{D1}+Y_{D2})$$

3.5 兑现承诺：验证三阶小量

光令前两阶导数为零还不够，得看三阶项系数。由（2）左边继续求导（乘积法则拆开，工具2③④）：

$$\frac{\partial^3 X_D}{\partial\theta^3} =2H\big[(\csc^2\theta)'\cot\theta+\csc^2\theta(\cot\theta)'\big]-8G\cos2\theta =2H\big[-2\csc^2\theta\cot^2\theta-\csc^4\theta\big]-8G\cos2\theta$$

代入 \(\theta=30^\circ,\ G=4H\)（\(\csc^2 30^\circ=4,\ \cot^2 30^\circ=3,\ \csc^4 30^\circ=16,\ \cos60^\circ=\frac12\)）：

$$=2H\big[-2\cdot4\cdot3-16\big]-8\cdot4H\cdot\frac12=2H\cdot(-40)-16H=-96H$$

所以

$$\Delta X_D=\frac{1}{6}\cdot(-96H)(\Delta\theta)^3+O(\Delta\theta^4)=-16H(\Delta\theta)^3+O(\Delta\theta^4)$$
入射角偏离 \(\Delta\theta\)，落点只漂移 \(-16H(\Delta\theta)^3\) —— 二级聚焦成立，且三阶系数都算出来了。

四、第（1.3）问：位置成像 \(s=-l\,\dfrac{\sin(30^\circ+\theta_{b1})}{\sin(30^\circ+\theta_{b2})}\)

4.1 先定符号约定（本题最容易翻车的地方）

对照图 2b，按官方解答的读法：入射板为"\"形（上端在左、下端在右），\(+l\) 沿板指向右下；接收板为"/"形（上端在右、下端在左），\(+s\) 沿板指向左下。板与水平夹角分别为 \(\theta_{b1},\theta_{b2}\)。于是当入射点从缝中心沿板移动 \(l\)：

水平方向右移 \(l\cos\theta_{b1}\)，竖直方向下移 \(l\sin\theta_{b1}\)，
即入射点坐标 \(=\big(l\cos\theta_{b1},\;-Y_{D1}-l\sin\theta_{b1}\big)\)。
这里当年最容易读反（第一版就把两板倾斜方向读反了）：图 2b 里板的线粗、文字标注的引线细，低倍看图时极易把引线当板线。凡涉及符号约定的几何图，务必放大确认再动笔。

离子的速度方向不变（仍为 \(\theta_I=30^\circ\)）——移动的是出发点，不是角度。接收端同理：接收点偏离缝中心 \(s\) 时坐标为 \(\big(X_D-s\cos\theta_{b2},\;-Y_{D2}-s\sin\theta_{b2}\big)\)。

4.2 三段追踪（每段都用 2.1 的公式，只是竖直落差变了）

段一：入射点比原来低了 \(l\sin\theta_{b1}\)，要到 \(y=0\) 需上升 \(Y_{D1}+l\sin\theta_{b1}\)，故到达下极板时的水平坐标

$$x_1=l\cos\theta_{b1}+\big(Y_{D1}+l\sin\theta_{b1}\big)\cot\theta_I$$

段二：进入电场的角度、速率都没变，斜抛射程不变（\(G\) 只依赖速率和加速度）：

$$x_2=x_1+G\sin2\theta_I$$

段三：从 \(y=0\) 以俯角 \(\theta_I\) 下降 \(Y_{D2}+s\sin\theta_{b2}\) 到接收点，水平走 \(\big(Y_{D2}+s\sin\theta_{b2}\big)\cot\theta_I\)。到达即：

$$x_2+\big(Y_{D2}+s\sin\theta_{b2}\big)\cot\theta_I=X_D-s\cos\theta_{b2}$$

4.3 代入化简（一步不跳）

把 \(x_1,x_2\) 代入上式左边：

$$l\cos\theta_{b1}+\big(Y_{D1}+l\sin\theta_{b1}\big)\cot\theta_I+G\sin2\theta_I+\big(Y_{D2}+s\sin\theta_{b2}\big)\cot\theta_I=X_D-s\cos\theta_{b2}$$

用 (1.1) 的结果 \(X_D=H\cot\theta_I+G\sin2\theta_I\) 消去两边的 \(Y_{D1}\cot\theta_I+Y_{D2}\cot\theta_I+G\sin2\theta_I\)，剩下：

$$l\cos\theta_{b1}+l\sin\theta_{b1}\cot\theta_I+s\sin\theta_{b2}\cot\theta_I+s\cos\theta_{b2}=0$$

含 \(l\) 的归一边、含 \(s\) 的归一边：

$$l\big(\cos\theta_{b1}+\sin\theta_{b1}\cot\theta_I\big)=-s\big(\cos\theta_{b2}+\sin\theta_{b2}\cot\theta_I\big)$$

括号里通分（乘 \(\sin\theta_I\) 后用和角公式，工具2末）：\(\cos\theta_b\sin\theta_I+\sin\theta_b\cos\theta_I=\sin(\theta_I+\theta_b)\)，即

$$\cos\theta_b+\sin\theta_b\cot\theta_I=\frac{\sin(\theta_I+\theta_b)}{\sin\theta_I}$$

代入（两边 \(\sin\theta_I\) 正好约掉）：

$$s=-l\,\frac{\sin(\theta_I+\theta_{b1})}{\sin(\theta_I+\theta_{b2})}=-\,l\,\frac{\sin(30^\circ+\theta_{b1})}{\sin(30^\circ+\theta_{b2})}$$

4.4 三道检验（做完题必须做的物理检查）

检验①：\(\theta_{b1}=\theta_{b2}=0\)（两板水平），则 \(s=-l\)——板水平时"沿板移动"就是纯水平平移，整条轨迹平移 \(l\)，落点当然平移 \(-l\)（方向相反是坐标定义使然）。✓

检验②：\(\theta_{b1}=\theta_{b2}\)（两板平行放置），放大率 \(=1\)——几何上平行的两板对同一条直线束"截距"变化相同。✓

检验③（物理意义）：负号 = 倒立像。物上移、像下移，正是聚焦成像系统的标志（对照工具5）。而且 \(m\) 只含角度常数、与离子从哪个方向来无关——这只有在二级聚焦压住角度误差后才成立。(1.2) 是 (1.3) 的前提。

五、第（2.1）问：偏离设计值时，中心束落在哪？

现实里仪器装好后 \(X_D=3\sqrt3 H\) 是焊死的，但入射角有安装误差 \(\delta\theta=\theta_I-30^\circ\)，待测能量 \(K_2\) 也在变（即 \(G\) 偏离设计值 \(G_0=4H\)，记 \(\delta G=G-4H\)）。问中心入射束（\(l=0\)）打到接收板的哪个位置 \(s_0\)——这个 \(s_0\) 里就藏着能量信息。

5.1 严格式：把 4.2 的追踪重走一遍（\(l=0\)，但 \(\theta_I,G\) 任意）

段一：\(x_1=Y_{D1}\cot\theta_I\)；段二：\(x_2=x_1+G\sin2\theta_I\)；段三到达接收板（坐标 \(X_D-s_0\cos\theta_{b2}\)，深度 \(Y_{D2}+s_0\sin\theta_{b2}\)）：

$$Y_{D1}\cot\theta_I+G\sin2\theta_I+\big(Y_{D2}+s_0\sin\theta_{b2}\big)\cot\theta_I=X_D-s_0\cos\theta_{b2}$$

含 \(s_0\) 的项归左边，其余归右边，并代入 \(X_D=3\sqrt3H\) 与 \(Y_{D1}+Y_{D2}=H\)：

$$s_0\big(\cos\theta_{b2}+\sin\theta_{b2}\cot\theta_I\big)=3\sqrt3H-H\cot\theta_I-G\sin2\theta_I$$

右边要化成"以 \(\tan\theta_I\) 为单位"的形式，两边同乘 \(\tan\theta_I\)（\(\cot\theta_I\tan\theta_I=1\)）：

$$s_0=\frac{3\sqrt3\,H\tan\theta_I-H-2G\sin^2\theta_I}{\cos\theta_{b2}\tan\theta_I+\sin\theta_{b2}}$$

其中用了 \(\sin2\theta\tan\theta=2\sin\theta\cos\theta\cdot\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=2\sin^2\theta\)。另外分母可写成 \(\dfrac{\sin(\theta_I+\theta_{b2})}{\cos\theta_I}\)（通分+和角公式），后文用哪个形式方便就用哪个。

5.2 展开分子：前两阶奇迹般地全是零

记分子 \(N(\theta,G)=3\sqrt3H\tan\theta-H-2G\sin^2\theta\)，在设计点 \((30^\circ,4H)\) 展开（工具4）。逐个算偏导：

\(N_\theta=3\sqrt3H\sec^2\theta-2G\sin2\theta\)，代入设计点：\(3\sqrt3H\cdot\dfrac43-8H\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3H-4\sqrt3H=0\)；
\(N_{\theta\theta}=6\sqrt3H\sec^2\theta\tan\theta-4G\cos2\theta\)，代入：\(6\sqrt3H\cdot\dfrac43\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}-16H\cdot\dfrac12=8H-8H=0\)。
这不是巧合！把 \(N_\theta=0,\ N_{\theta\theta}=0\) 与 3.1、3.2 的聚焦条件对比（都乘上 \(\sin^2\theta\) 之类的因子整理一下），会发现它们就是二级聚焦条件换了个写法。二级聚焦压住的任何"角度型误差"，在这道题的每个出口都会再压一次。

继续算需要的非零偏导：

\(N_G=-2\sin^2\theta\Big|_{30^\circ}=-\dfrac12\)；
\(N_{\theta G}=-2\sin2\theta\Big|_{30^\circ}=-\sqrt3\)；
\(N_{\theta\theta\theta}=6\sqrt3H\big[2\sec^2\theta\tan^2\theta+\sec^4\theta\big]+8G\sin2\theta\) （对 \(N_{\theta\theta}\) 再导：\(\sec^2\theta\tan\theta\) 用乘积法则配工具2①③，\(\cos2\theta\) 出 \(-2\sin2\theta\)）。代入设计点：\(6\sqrt3H\big[2\cdot\frac43\cdot\frac13+\frac{16}{9}\big]+32H\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3H\cdot\frac{24}{9}+16\sqrt3H=16\sqrt3H+16\sqrt3H=32\sqrt3H\)。

于是分子的领头项（一阶的 \(\delta\theta\) 项、二阶的 \((\delta\theta)^2\) 项都为零）：

$$N\approx-\frac12\,\delta G-\sqrt3\,\delta\theta\,\delta G+\frac{1}{6}\cdot32\sqrt3H\,(\delta\theta)^3 =-\frac{\delta G}{2}-\sqrt3\,\delta\theta\,\delta G+\frac{16\sqrt3H}{3}(\delta\theta)^3$$

分母取设计点的值即可（它的修正只会乘在已是小量的分子上，升阶，扔）：

$$\cos\theta_{b2}\tan30^\circ+\sin\theta_{b2}=\frac{1}{\sqrt3}\cos\theta_{b2}+\sin\theta_{b2} =\frac{2}{\sqrt3}\Big(\frac12\cos\theta_{b2}+\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta_{b2}\Big)=\frac{2}{\sqrt3}\sin(30^\circ+\theta_{b2})$$
$$s_0\approx\frac{\sqrt3}{2\sin(30^\circ+\theta_{b2})} \left[-\frac{\delta G}{2}-\sqrt3\,\delta\theta\,\delta G+\frac{16\sqrt3H}{3}(\delta\theta)^3\right]$$
读出两句话：① 安装角误差 \(\delta\theta\) 的影响被压到三阶——装歪一点不要紧；② 能量误差 \(\delta G\) 一阶直通落点——\(K_2\) 一动落点就动。对角度鲁棒、对能量灵敏，所以它配当"能量计"。若安装理想（\(\delta\theta=0\)）：\(s_0=-\dfrac{\sqrt3\,\delta G}{4\sin(30^\circ+\theta_{b2})}\)，\(K_2\) 偏大（\(\delta G>0\)）时 \(s_0<0\)，即偏到接收板上半侧——记好这个符号，(2.2) 要用。

六、第（2.2）问：两半平面电流比 \(\Rightarrow K_2\)

6.1 实验设置：接收板劈成上下两半，各测电流

入射缝宽 \(w\)，束流均匀地照亮整条缝（\(l\in[-\frac w2,\frac w2]\) 上粒子数均匀）。接收板沿 \(s=0\) 分成上半、下半，分别收集电流 \(i_U,i_L\)。要由这两个读数反推 \(K_2\)。

6.2 成像关系把"缝上的点"映成"板上的点"

由 (1.3) 的线性成像加上 (2.1) 的中心偏移，任意 \(l\) 处的落点为

$$s=s_0-\frac{\sin(30^\circ+\theta_{b1})}{\sin(30^\circ+\theta_{b2})}\,l$$

斜率为负（倒像）。于是存在一个临界物点 \(l_0\)：从 \(l_0\) 进的粒子恰好落在分界 \(s=0\) 上。\(l>l_0\) 的粒子成倒像落到 \(s<0\)（上半侧）被上半板收集；\(l均匀进束下，电流正比于缝宽区间长度：

$$i_U=I_{\text{总}}\frac{\frac w2-l_0}{w},\qquad i_L=I_{\text{总}}\frac{\frac w2+l_0}{w}$$

两式相减、相加再取比（\(I_{\text{总}}\) 消掉——用比值测，免去绝对流强标定，这是实验上极关键的优点）：

$$\frac{i_L-i_U}{i_L+i_U}=\frac{2l_0}{w}\quad\Longrightarrow\quad l_0=\frac w2\cdot\frac{i_L-i_U}{i_L+i_U}\tag{3}$$

6.3 另一头：\(l_0\) 由什么决定

在 5.1 的追踪里把 \(l\) 加回来（段一变成 \(x_1=l\cos\theta_{b1}+(Y_{D1}+l\sin\theta_{b1})\cot\theta_I\)），令落点 \(s=0\)：

$$l_0\big(\cos\theta_{b1}+\sin\theta_{b1}\cot\theta_I\big)+H\cot\theta_I+G\sin2\theta_I=3\sqrt3H$$

同乘 \(\tan\theta_I\) 整理（与 5.1 完全同构）：

$$l_0=\frac{3\sqrt3H\tan\theta_I-H-2G\sin^2\theta_I}{\cos\theta_{b1}\tan\theta_I+\sin\theta_{b1}}$$

安装误差的影响是三阶小量（5.2 已证），取 \(\theta_I=30^\circ\)：分子 \(=3\sqrt3H\cdot\frac{1}{\sqrt3}-H-2G\cdot\frac14=2H-\dfrac G2\)；分母同 5.2 的算法 \(=\dfrac{2}{\sqrt3}\sin(30^\circ+\theta_{b1})\)。所以

$$l_0=\frac{\sqrt3\left(2H-\frac G2\right)}{2\sin(30^\circ+\theta_{b1})}\tag{4}$$

6.4 (3)=(4)，解出 \(K_2\)

$$\frac{\sqrt3\left(2H-\frac G2\right)}{2\sin(30^\circ+\theta_{b1})}=\frac w2\cdot\frac{i_L-i_U}{i_L+i_U}$$

两边乘 \(2\sin(30^\circ+\theta_{b1})/\sqrt3\)：

$$2H-\frac G2=\frac{w\sin(30^\circ+\theta_{b1})}{\sqrt3}\cdot\frac{i_L-i_U}{i_L+i_U}$$

解 \(G\)（两边乘 \(-2\) 再移项，注意 \(\frac{i_L-i_U}{i_L+i_U}=-\frac{i_U-i_L}{i_U+i_L}\)）：

$$G=4H+\frac{2w}{\sqrt3}\sin(30^\circ+\theta_{b1})\,\frac{i_U-i_L}{i_U+i_L}$$

最后由 \(G=\dfrac{K_2d}{eV_A}\) 即 \(K_2=\dfrac{eV_A}{d}G\)：

$$K_2=\frac{eV_A}{d}\left[\,4\,(Y_{D1}+Y_{D2}) +\frac{2w}{\sqrt3}\sin(30^\circ+\theta_{b1})\,\frac{i_U-i_L}{i_U+i_L}\right]$$

检验①：\(i_U=i_L\) 时 \(K_2=\dfrac{4eV_AH}{d}\)，正是 (1.2) 的设计关系 \(G=4H\)。✓ 检验②：\(K_2\) 偏大时由 5.2 末的符号分析，中心束偏向上半侧，\(i_U>i_L\)，公式给出的修正项为正——\(K_2\) 大于设计值，自洽。✓

七、第（2.3）问：电势 \(\varphi\)

能量链条三步走（工具6；按题意忽略碰撞衰减、电离能、电子带走的小量）：

① 一次离子（电荷 \(e\)）从等离子体外（\(\varphi=0\)，动能 \(K_1\)）"爬坡"到电势 \(\varphi\) 的测量位置，动能变为 \(K_1-e\varphi\)；
② 在测量位置被二次电离。电离能、反冲等都是小量，新生的二次离子（电荷 \(2e\)）近似继承当地动能 \(K_1-e\varphi\)；
③ 二次离子从电势 \(\varphi\) 处飞出等离子体回到 \(\varphi=0\)，静电力做正功 \(2e\varphi\)： $$K_2=(K_1-e\varphi)+2e\varphi=K_1+e\varphi$$
$$\varphi=\frac{K_2-K_1}{e} =\frac{V_A}{d}\left[\,4\,(Y_{D1}+Y_{D2}) +\frac{2w}{\sqrt3}\sin(30^\circ+\theta_{b1})\,\frac{i_U-i_L}{i_U+i_L}\right]-\frac{K_1}{e}$$
物理图像一句话：二次离子电荷比一次离子多一个 \(e\)，它"逃出"正电势区赚到的 \(2e\varphi\) 比一次离子"爬坡"亏掉的 \(e\varphi\) 多一份，净赚 \(e\varphi\)——电势信息被"电荷态跳变"直接放大成了动能差。这就是 HIBP 能隔空测聚变芯部电势的全部原理。

八、复赛"黑话"对照 + 合上文档自测

"二级聚焦条件" ＝ 落点对误差的泰勒展开中一阶、二阶项系数都为零，领头误差是三阶。

"特征长度 \(G\)" ＝ 把 \(v^2/a\) 打包起绰号；本题里 \(G\) 就是能量的化身，测位置 = 测 \(G\) = 测 \(K_2\)。

"上下半平面收集的电流 \(i_U,i_L\)" ＝ 把位置测量换成电流比值测量，消掉绝对流强，实验上才好做。

三板斧复盘：斜抛射程 + 无场漂移分段相加、聚焦条件 = 导数方程组、成像 = 线性映射 + 电流比反演。

自测：六步能复述吗？

① 三段运动相加得 \(X_D=H\cot\theta_I+G\sin2\theta_I\)；② 令 \(X_D'(\theta)=X_D''(\theta)=0\) 解出 \(30^\circ\) 与 \(G=4H\)，并验证三阶项 \(-16H(\Delta\theta)^3\)；③ 偏移 \(l\) 的轨迹追踪得线性成像 \(s=-m l\)，\(m=\sin(30^\circ+\theta_{b1})/\sin(30^\circ+\theta_{b2})\)；④ 非设计态中心束落点 \(s_0\) 的严格式 + 展开（分子前两阶为零是聚焦条件的化身）；⑤ 电流比给出临界物点 \(l_0=\frac w2\frac{i_L-i_U}{i_L+i_U}\)，与几何式联立解出 \(K_2\)；⑥ 能量链条 \(K_2=K_1+e\varphi\)。

能讲清"为什么二级聚焦是成像的前提""为什么用电流比而不是电流绝对值"这两个为什么，这题你就吃透了——45 分的骨架全在这两个观念上。